Mostre que os zeros de sen z e operatorname c o s z são dados, respectivamente, pelas expressões z=n pi e tan z, cotan z, sec z e cossec z inteiro.
Determinar os domínios máximos de definição das funções .

Passo 1

O exercício pede pra mostrar onde ,\sin z e ,\cos z se anulam e depois usar isso pra achar o domínio máximo de \tan z, \cot z, \sec z e \csc z. O conteúdo é zeros de funções trigonométricas (em C ou R) e domínios de funções definidas como quocientes ou recíprocas.

Passo 2

A teoria básica é que sin z e cos z são funções inteiras com período 2pi e zeros simples. sin z=0 exatamente quando
z=npi, ninZ Isso vem do fato de que no eixo real sin(npi)=0 e a identidade de prolongamento analítico garante os mesmos zeros no plano complexo.

Passo 3

Similarmente, cos z=0 exatamente quando
z=l(n+tfrac12r)pi, ninZ

Passo 4

Agora, tan z e sec z usam cos z no denominador, e cot z e csc z usam sin z. A definição em bloco de tan z é
tan z=sin zcos z Logo, onde cos z=0 a função não está definida. Então o domínio máximo de tan z e de sec z (que é 1/cos z) é
zinCcolon cos zneq0=Csetminusll(n+tfrac12r)picolon ninZr

Passo 5

A definição em bloco de cot z é
cot z=cos zsin z, csc z=1sin z Portanto cot z e csc z não existem quando sin z=0. O domínio máximo delas é
zinCcolon sin zneq0=Csetminusnpicolon ninZ

Resposta

Os zeros são
sin z=0 em z=npi, ninZ,
e cos z=0 em z=(n+tfrac12)pi, ninZ.
Domínios máximos:
tan z e sec z:
Csetminus(n+tfrac12)picolon ninZ.
cot z e csc z:
Csetminusnpicolon ninZ.

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