Ache uma equação da reta tangente à curva no ponto dado.
y=1sen x+cos x, P=(0,1)

Passo 1

Beleza, temos que achar a equação da reta tangente à curva no ponto . Vamos usar conceitos de derivadas para descobrir essa reta. Precisamos calcular a derivada da função para encontrar a inclinação da tangente no ponto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de em relação a . A função é . Podemos reescrever isso como para facilitar a derivação.

Passo 3

Aplicamos a regra da derivada da potência e a regra da cadeia. A derivada de y' = -1 cdot (sen x + cos x)^-2 cdot (cos x - sen x) será:
Simplificando, temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada no ponto sen 0 = 0 e cos 0 = 1 . Primeiro, calculamos e y'(0) = -(1 - 0)(0 + 1)^2 = -1 :
Substituindo na expressão da derivada:
Então, a inclinação da reta tangente no ponto é .

Passo 5

Sabemos que a equação da reta tangente pode ser escrita na forma 1 = -1 cdot 0 + b Rightarrow b = 1 . Já temos e o ponto . Substituindo na equação:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto y = -x + 1 é:

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