Encontre as derivadas parciais de:
f(x, y, z)=4 x^3 y^2-e^z y^4+z^3x^2+4 y-x^1 6

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
Temos a função
f(x,y,z)=4x^3y^2-e^zy^4+z^3x^2+4y - x^16
O conteúdo é derivadas parciais de funções de várias variáveis. Vamos usar regra de potência, derivada de exponencial e tratar z^3/x^2 como z^3x^-2.

Passo 2

Para calcular dfracpartial fpartial x, mantemos y e z constantes. Derivando termo a termo:
4x^3y^2 pelo poder: 12x^2y^2.
-e^zy^4 é constante em x, então gera 0.
z^3x^-2: aplicando regra de potência em x^-2, vem -2z^3x^-3.
+4y é constante em x, gera 0.
-x^16: poder 16, gera -16x^15.

Passo 3

Para calcular dfracpartial fpartial y, mantemos x e z constantes. Derivando termo a termo:
4x^3y^2: poder 2 em y, gera 8x^3y.
-e^zy^4: exponencial em z é constante, então vem -e^zcdot4y^3=-4e^zy^3.
z^3x^-2 não depende de y, gera 0.
+4y gera +4.
-x^16 não depende de y, gera 0.

Passo 4

Para calcular dfracpartial fpartial z, mantemos x e y constantes. Derivando termo a termo:
4x^3y^2 independe de z, gera 0.
-e^zy^4: derivada de e^z é e^z, vem -e^zy^4.
z^3x^-2: x^-2 é constante, a derivada de z^3 é 3z^2, então 3z^2x^-2.
+4y independe de z, gera 0.
-x^16 independe de z, gera 0.

Resposta

[\frac{\partial f}{\partial x}=12x{2}y{2}-2\frac{z{3}}{x{3}}-16x^{15},\quad\frac{\partial f}{\partial y}=8x{3}y-4e{z}y^{3}+4,\quad\frac{\partial f}{\partial z}=-e{z}y{4}+3\frac{z{2}}{x{2}}]

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