Escreva na forma f(g(x)) a função composta. Identifique a função de dentro u=g(x) e a de fora y=f(u). Então encontre a derivada d y / d x usando a regra da cadeia.
y=tan 3 x

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem a função e precisamos escrevê-la como uma função composta . Isso significa que vamos identificar duas funções: uma que está dentro (a função de dentro) e outra que está por fora. Além disso, vamos precisar usar a regra da cadeia para encontrar a derivada dessa função composta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas funções que compõem y = f(g(x)) . A gente pode escrever isso como:
g(x) = 3x
Aqui, a função de dentro f(u) = tan(u) é o que está dentro da função tangente, ou seja:
E a função de fora é a tangente dessa função, onde . Então temos:

Passo 3

Agora que identificamos dydx = dfdu cdot dudx e dfdu = sec^2(u) , vamos encontrar a derivada de dudx = 3 em relação a usando a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que:
Primeiro, vamos calcular . Sabemos que a derivada da tangente é:
Em seguida, vamos calcular . Como , a derivada é:

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na regra da cadeia:
dydx = sec^2(u) cdot 3
Lembrando que dydx = 3 cdot sec^2(3x) , substituímos de volta:

Resposta

A derivada de dydx = 3,sec^2(3x) em relação a é:

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