Ache uma equação da reta tangente à curva no ponto dado.
y=3^xx, P=(1,3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação da reta tangente à curva no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e geometria analítica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma reta tangente. A reta tangente a uma curva num ponto específico é a reta que “toca” a curva nesse ponto e tem a mesma inclinação que a curva naquele ponto.

Passo 3

Para achar a inclinação da reta tangente, precisamos calcular a derivada da função . A derivada nos dá a inclinação da curva em qualquer ponto .

Passo 4

Vamos derivar ( uv )' = u'v - uv'v^2 usando a regra do quociente. A regra do quociente diz que:
onde e .

Passo 5

Calculando u' = ddx3^x = 3^x ln(3) e v' = ddxx = 1 :

Passo 6

Agora, aplicando a regra do quociente:
y' = 3^x ln(3) cdot x - 3^x cdot 1x^2 = 3^x(x ln(3) - 1)x^2

Passo 7

Vamos calcular a derivada no ponto y'(1) = 3^1(1 cdot ln(3) - 1)1^2 = 3(ln(3) - 1) para encontrar a inclinação da reta tangente:
Então, a inclinação é .

Passo 8

Agora que temos a inclinação, usamos a fórmula da reta tangente:
y = m(x - x0) + y0
onde .

Passo 9

Substituindo os valores:
y = 3(ln(3) - 1)(x - 1) + 3

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto y = 3(ln(3) - 1)(x - 1) + 3 é:

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