Ache uma equação da reta tangente à curva no ponto dado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação da reta tangente à curva
no ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e geometria analítica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma reta tangente. A reta tangente a uma curva num ponto específico é a reta que “toca” a curva nesse ponto e tem a mesma inclinação que a curva naquele ponto.
Passo 3
Para achar a inclinação da reta tangente, precisamos calcular a derivada da função
. A derivada nos dá a inclinação da curva em qualquer ponto
.
Passo 4
Vamos derivar
usando a regra do quociente. A regra do quociente diz que:
onde
e
.
Passo 5
Calculando
e
:
Passo 6
Agora, aplicando a regra do quociente:
Passo 7
Vamos calcular a derivada no ponto
para encontrar a inclinação da reta tangente:
Então, a inclinação
é
.
Passo 8
Agora que temos a inclinação, usamos a fórmula da reta tangente:
onde
.
Passo 9
Substituindo os valores:
Resposta
A equação da reta tangente à curva no ponto
é: