Resolva o seguinte PVI: d yd x+yx & =5(x^2+2)(4 x^2+3), x>0 y & =12 ln (76) para x=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI y'+ yx=5(x^2+2)(4x^2+3), x>0, com condição y(1)=tfrac12ln(7/6). Isso é uma EDO linear de primeira ordem, e vamos usar fator integrante para resolver.

Passo 2

Calculamos o fator integrante mu(x)=e^integral(1/x),dx=x. Multiplicando a equação original por x, obtemos
(x,y)"=5x(x^2+2)(4x^2+3)

Passo 3

Agora integramos o lado direito. Fazendo u=x^2, temos du=2x,dx e
integral5x(x^2+2)(4x^2+3),dx=52integraldu(u+2)(4u+3)

Passo 4

Fazendo frações parciais:
1(u+2)(4u+3)=Au+2+B4u+3, A=-tfrac15, B=tfrac45

Passo 5

Integrando aparece
integral5x(x^2+2)(4x^2+3),dx=tfrac12ln4x^2+3x^2+2+C,
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x,y=tfrac12ln4x^2+3x^2+2+C, y=12xln4x^2+3x^2+2+Cx

Passo 6

Usando y(1)=tfrac12ln(7/6):
tfrac12ln73+C=tfrac12ln76 implies C=-tfrac12ln2

Passo 7

Substituindo de volta, obtemos a solução:
y(x)=12xl[ln4x^2+3x^2+2-ln2r]

Resposta

y(x)=dfrac12xln4x^2+32,(x^2+2)

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