Ache a equação da reta tangente ao gráfico da curva determinada pela equação:
3 x y^2-4 y+1=0 no ponto (1,1).

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente ao gráfico da curva dada implicitamente por
3x y^2 - 4y + 1 = 0
no ponto (1,1). Vamos usar diferenciação implícita para obter a derivada y' e depois montar a reta com a forma ponto-inclinação.

Passo 2

Derivamos ambos os lados de
3x y^2 - 4y + 1 = 0
em relação a x. Para 3x y^2 aplicamos regra do produto, e para -4y usamos cadeia:
ddxl(3x y^2r) = 3y^2 + 3xcdot 2y,y', ddx(-4y) = -4y', ddx(1)=0
Isso dá
3y^2 + 6x y,y' - 4y' = 0

Passo 3

Isolando y', agrupamos os termos que o contêm:
3y^2 + y',(6x y - 4) = 0 Longrightarrow y'(6x y - 4) = -3y^2 Longrightarrow y' = -3y^26x y - 4

Passo 4

Agora avaliamos a derivada no ponto (x,y)=(1,1):
y'(1,1) = -3cdot1^26cdot1cdot1 - 4 = -36 - 4 = -32
Portanto a inclinação da reta tangente é m = -tfrac32.

Passo 5

Usamos a forma ponto-inclinação da reta tangente em (x0,y0)=(1,1):
y - y0 = m,(x - x0) Longrightarrow y - 1 = -32,(x - 1)
Desenvolvendo,
y = -32x + 32 + 1 = -32x + 52

Resposta

A equação da reta tangente é
y = -32x + 52

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