Lembre que o critério de Leibniz para séries alternadas , com , estabelece apenas condições suficientes para a convergência condicional da série ( se é monótona decrescente e , então é convergente). Estas condições
não são necessárias. Mostre isto no seguinte exemplo: a série , converge porém os termos não formam uma sequência monótona decrescente.
6. Dê um exemplo de uma série alternada que seja condicionalmente convergente mas que não seja absolutamente convergente. (Lembre que uma série é dita absolutamente convergente se for convergente).
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a série alternada
converge, embora os módulos dos termos
não formem sequência monótona decrescente. Em seguida, devemos dar um exemplo de série alternada que seja condicionalmente convergente mas não absolutamente convergente.
Passo 2
Escrevemos a série como diferença de duas séries geométricas convergentes:
Cada uma é geométrica com razão tal que , portanto
Logo a série original converge e sua soma é
Passo 3
Para ver que não é decrescente basta comparar termos:
mas
portanto e a sequência de módulos não é monótona decrescente.
Passo 4
Um exemplo clássico de série alternada que converge condicionalmente mas não absolutamente é a série harmônica alternada:
Pelo critério de Leibniz ela converge, mas
é a série harmônica, que diverge.
Resposta
A série
12-13+12^2-13^2+cdots
converge (soma 1/2), embora |a4|<|a5|.
Um exemplo de série alternada condicionalmente convergente mas não absolutamente convergente é