Lembre que o critério de Leibniz para séries alternadas sumn=0^infty(-1)^n an, com , an>0 estabelece apenas condições suficientes para a convergência condicional da série ( se an é monótona decrescente e lim n infty an=0, então sumn=0^infty(-1)^n an é convergente). Estas condições
não são necessárias. Mostre isto no seguinte exemplo: a série 12-13+12^2-13^2+12^3-13^3+ldots, converge porém os termos não formam uma sequência monótona decrescente.
6. Dê um exemplo de uma série alternada que seja condicionalmente convergente mas que não seja absolutamente convergente. (Lembre que uma série sumn >= 0 an é dita absolutamente convergente se sumn >= 0|an| for convergente).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série alternada
12-13+12^2-13^2+12^3-13^3+cdots
converge, embora os módulos dos termos
|an|=ltfrac12,tfrac13,tfrac12^2,tfrac13^2,ldotsr
não formem sequência monótona decrescente. Em seguida, devemos dar um exemplo de série alternada que seja condicionalmente convergente mas não absolutamente convergente.

Passo 2

Escrevemos a série como diferença de duas séries geométricas convergentes:
sumn=1^infty12^n e sumn=1^infty13^n
Cada uma é geométrica com razão r tal que |r|<1, portanto
sumn=1^infty12^n = tfrac121-tfrac12 =1,
sumn=1^infty13^n = tfrac131-tfrac13 =12
Logo a série original converge e sua soma é
1 - tfrac12 = tfrac12

Passo 3

Para ver que |an| não é decrescente basta comparar termos:
|a4| = 13^2 = 19, |a5| = 12^3 = 18,
mas
19 < 18,
portanto |a5| > |a4| e a sequência de módulos não é monótona decrescente.

Passo 4

Um exemplo clássico de série alternada que converge condicionalmente mas não absolutamente é a série harmônica alternada:
sumn=1^infty (-1)^,n-1n
Pelo critério de Leibniz ela converge, mas
sumn=1^infty gl|(-1)^,n-1ngr| = sumn=1^infty 1n
é a série harmônica, que diverge.

Resposta

A série
12-13+12^2-13^2+cdots
converge (soma 1/2), embora |a4|<|a5|.
Um exemplo de série alternada condicionalmente convergente mas não absolutamente convergente é
sumn=1^infty (-1)^,n-1n

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