Ache a equação da reta tangente ao gráfico da curva determinada pela equação:
x e^x y-y^2-x+1=0 no ponto (0,1).

Passo 1

O enunciado dá a curva implícita
F(x,y)=x,e^x y-y^2-x+1=0
e pede a reta tangente no ponto (0,1). Vamos usar diferenciação implícita para achar dfracdydx e depois a equação da reta.

Passo 2

Diferenciando F(x,y)=0 em relação a x, lembrando que y depende de x, temos
ddxl(x,e^x yr);-;ddxl(y^2r);-;ddx(x);+;ddx(1)=0
Agora
ddxl(x,e^x yr) =e^x y+x,e^x y,ddx(x y) =e^x y+x,e^x y,(y + x,y'),
ddxl(y^2r)=2,y,y', ddx(x)=1, ddx(1)=0
Logo a derivada implícita é
e^x y+x,e^x y,(y+x,y')-2,y,y'-1=0

Passo 3

No ponto (0,1) temos e^0cdot1=1, x=0, y=1. Substituindo na equação da derivada:
1 + 0cdot(1+0cdot y') -2cdot1cdot y' -1=0 Longrightarrow -2,y'=0 Longrightarrow y'=0
Portanto a inclinação da reta tangente é m=0.

Passo 4

A equação da reta tangente no ponto (0,1) com inclinação m=0 vem de
y - y0 = m,(x - x0)
isto é
y - 1 = 0,(x - 0) Longrightarrow y=1

Resposta

A reta tangente é
y=1

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