Ache a equação da reta tangente ao gráfico da curva determinada pela equação:
y cos x+x sin y=pi / 2 no ponto (pi / 2, pi / 2).

Passo 1

Estamos com a curva dada de forma implícita por
ycos x + xsin y = pi2
e queremos a reta tangente a ela no ponto l(x0,y0r)=l(tfracpi2,tfracpi2r). Vamos usar diferenciação implícita para achar tfracdydx e então montar a equação da reta tangente.

Passo 2

Diferenciando em relação a x ambos os lados de
ycos x + xsin y = pi2,
temos, pelo produto e pela cadeia,
ddxl(ycos xr) +ddxl(xsin yr) =0
Isso dá
y'cos x - ysin x ;+;sin y + xcos y;y' = 0,
onde y'=tfracdydx.

Passo 3

Agrupando os termos que envolvem y' e isolando
y'l(cos x + xcos yr) = ysin x - sin y
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y' = ysin x - sin ycos x + xcos y

Passo 4

Avaliaremos em l(x0,y0r)=l(tfracpi2,tfracpi2r). Sabemos que
sin!l(tfracpi2r)=1, cos!l(tfracpi2r)=0
Então o numerador vira
y0sin x0 - sin y0 =pi2cdot1 - 1 =pi2-1neq0,
e o denominador
cos x0 + x0cos y0 =0 + pi2cdot0 =0
Como o denominador é zero e o numerador não, tfracdydx é infinito: a reta tangente é vertical.

Resposta

A reta tangente é a reta vertical
x = pi2

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