Encontrar o intervalo de convergência das seguintes séries de potências (Verificar a convergência, ou não, nos extremos dos intervalos):
.
Passo 1
O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
Este é um problema de raio de convergência de séries de potências; vamos usar o teste da razão e depois verificar cada extremo.
Passo 2
Seja o termo geral da série
Aplicando o teste da razão, calculamos
Passo 3
Tomando limite quando
ntoinfty ,
Pelo teste da razão, a série converge se
|x|^2<1 , isto é,
Passo 4
Em
x=1 o termo geral vira
que cresce como
tfrac12n^4 e não tende a zero, então a série diverge. Para
x=-1 temos
(-1)^2n=1 e o mesmo argumento mostra divergência.
Resposta
O intervalo de convergência é
,(-1,1), e a série diverge em
x=pm1 .