Encontrar o intervalo de convergência das seguintes séries de potências (Verificar a convergência, ou não, nos extremos dos intervalos):
sumn=1^infty (n+1)^5 x^2 n2 n+1.

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
sumn=1^infty (n+1)^52n+1,x^2n
Este é um problema de raio de convergência de séries de potências; vamos usar o teste da razão e depois verificar cada extremo.

Passo 2

Seja o termo geral da série
an = (n+1)^52n+1,x^2n
Aplicando o teste da razão, calculamos
|an+1an| = |(n+2)^52n+3,x^2(n+1);g/;(n+1)^52n+1,x^2n| = (n+2)^5(n+1)^5;2n+12n+3;|x|^2

Passo 3

Tomando limite quando ntoinfty,
limntoinfty(n+2)^5(n+1)^5;2n+12n+3;|x|^2 =1cdot1cdot|x|^2 =|x|^2
Pelo teste da razão, a série converge se |x|^2<1, isto é,
|x|<1

Passo 4

Em x=1 o termo geral vira
(n+1)^52n+1,
que cresce como tfrac12n^4 e não tende a zero, então a série diverge. Para x=-1 temos (-1)^2n=1 e o mesmo argumento mostra divergência.

Resposta

O intervalo de convergência é ,(-1,1), e a série diverge em x=pm1.

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