Ache uma equação em x e y que tenha o mesmo gráfico da equação polar e use-a para auxiliar o traçado no plano- xy.
r^2=16 sen 2 theta

Passo 1

O enunciado pede para converter a equação polar r^2=16sin2theta numa equivalente em coordenadas cartesianas ( x,y) e usar essa forma para ajudar a desenhar o gráfico no plano-xy. Vamos usar as relações de mudança de coordenadas polares para cartesianas: x=rcostheta, y=rsintheta, portanto r^2=x^2+y^2. Além disso, aplicamos a identidade trigonométrica sin2theta=2sinthetacostheta.

Passo 2

Substituindo essas expressões em r^2=16sin2theta temos:
r^2=16,(2sinthetacostheta)=32sinthetacostheta

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por r^2 e reconhecendo rsintheta=y e rcostheta=x, obtemos:
(r^2)^2=32,(rsintheta),(rcostheta)Longrightarrow (x^2+y^2)^2=32,x,y

Passo 4

Para traçar essa curva (uma lemniscata de Bernoulli), note que ela só existe onde sin2theta>=0, ou seja nos quadrantes I e III. O máximo de r ocorre em theta=pi/4 (ou 5pi/4), com r=4, dando os pontos (2raiz2,2raiz2) e (-2raiz2,-2raiz2). A curva é simétrica em relação à reta y=x e ao ponto (0,0).

Resposta

(x^2+y^2)^2=32xy

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