Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
sumk=1^infty (-1)^k3^k raizk x^k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências:
sumk=1^infty (-1)^k3^k raizk x^k
Para isso, vamos utilizar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar até onde a série converge. Vamos precisar entender como aplicar esse teste passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é:
ak = (-1)^k3^k raizk x^k
Nosso objetivo é encontrar o limite da razão entre termos consecutivos, ou seja, calcular:
L = limk to infty | ak+1ak |

Passo 3

Vamos substituir $ a_{k+1} $ e $ a_k $ na expressão:
ak+1
Simplificando essa fração:
ak

Passo 4

Simplificando cada parte:
  1. $ \frac{(-1){k+1}}{(-1){k}} = -1 $
  2. $ \frac{3{k}}{3{k+1}} = \frac{1}{3} $
  3. $ \frac{\sqrt{k}}{\sqrt{k+1}} = \sqrt{\frac{k}{k+1}} $
Então, temos:
(-1)^k+1(-1)^k = -1

Passo 5

Agora, vamos considerar o valor absoluto da razão, já que o Teste da Razão usa valores positivos:
| ak+1ak | = 13 cdot raizkk+1 cdot |x|

Passo 6

Vamos calcular o limite quando $ k $ tende ao infinito:
k
Observamos que $ \sqrt{\frac{k}{k+1}} $ tende a 1 quando $ k $ vai para o infinito. Então:
L = limk to infty 13 cdot raizkk+1 cdot |x|

Passo 7

Para a série convergir, precisamos que $ L < 1 $:
L < 1
Multiplicando ambos os lados por 3:
|x|3 < 1
Isso significa que o raio de convergência $ R $ é 3.

Passo 8

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência. Sabemos que a série converge para $ |x| < 3 $, ou seja, $ -3 < x < 3 $. Mas precisamos testar os extremos $ x = 3 $ e $ x = -3 $.

Passo 9

Para $ x = 3 $:
A série fica:
x = 3
Essa é uma série alternada, e pelo Teste da Série Alternada, ela converge porque $ \frac{1}{\sqrt{k}} $ tende a 0 e é decrescente.
Para $ x = -3 $:
A série fica:
sumk=1^infty (-1)^k3^k raizk cdot 3^k = sumk=1^infty (-1)^kraizk
Essa é a série p com $ p = \frac{1}{2} $, que diverge.

Resposta

O raio de convergência é $ R = 3 $ e o intervalo de convergência é $ -3 < x \leq 3 $.

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