Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências:
Para isso, vamos utilizar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar até onde a série converge. Vamos precisar entender como aplicar esse teste passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é:
Nosso objetivo é encontrar o limite da razão entre termos consecutivos, ou seja, calcular:
Passo 3
Vamos substituir $ a_{k+1} $ e $ a_k $ na expressão:
Simplificando essa fração:
Passo 4
Simplificando cada parte:
- $ \frac{(-1){k+1}}{(-1){k}} = -1 $
- $ \frac{3{k}}{3{k+1}} = \frac{1}{3} $
- $ \frac{\sqrt{k}}{\sqrt{k+1}} = \sqrt{\frac{k}{k+1}} $
Então, temos:
Passo 5
Agora, vamos considerar o valor absoluto da razão, já que o Teste da Razão usa valores positivos:
Passo 6
Vamos calcular o limite quando $ k $ tende ao infinito:
Observamos que $ \sqrt{\frac{k}{k+1}} $ tende a 1 quando $ k $ vai para o infinito. Então:
Passo 7
Para a série convergir, precisamos que $ L < 1 $:
Multiplicando ambos os lados por 3:
Isso significa que o raio de convergência $ R $ é 3.
Passo 8
Agora, vamos determinar o intervalo de convergência. Sabemos que a série converge para $ |x| < 3 $, ou seja, $ -3 < x < 3 $. Mas precisamos testar os extremos $ x = 3 $ e $ x = -3 $.
Passo 9
Para $ x = 3 $:
A série fica:
Essa é uma série alternada, e pelo Teste da Série Alternada, ela converge porque $ \frac{1}{\sqrt{k}} $ tende a 0 e é decrescente.
Para $ x = -3 $:
A série fica:
Essa é a série p com $ p = \frac{1}{2} $, que diverge.
Resposta
O raio de convergência é $ R = 3 $ e o intervalo de convergência é $ -3 < x \leq 3 $.