Trace o gráfico da equação em coordenadas retangulares. Em seguida, escreva a equação em coordenadas polares.
2 y=-x

Passo 1

Temos a equação em coordenadas retangulares 2y=-x, que descreve uma reta no plano XY. Nosso objetivo é esboçar esse gráfico e depois reescrever a equação em coordenadas polares. Vamos precisar das fórmulas de conversão:

Passo 2

Primeiro, isolamos y para entender a forma da reta. Dividindo ambos os lados de 2y=-x por 2, obtemos:
-tfrac12
Isso é uma reta que passa pela origem com coeficiente angular x=0. Para esboçar, basta marcar alguns pontos, por exemplo:
  • Se y=0, então x=2.
  • Se y=-1, então x=-2.
  • Se y=1, então .
Ligando esses pontos, temos a reta inclinada descendo lentamente, cortando o eixo Y em 0.

Passo 3

Para converter para coordenadas polares, substituímos x=rcostheta e y=rsintheta na equação original. Assim:
2y=-x
substituindo,
2l(rsinthetar)=-l(rcosthetar)

Passo 4

Agora simplificamos. Primeiro, factoramos r:
rl(2sintheta + costhetar)=0
A solução trivial r=0 é apenas a origem. Para a reta não degenerada, exigimos
2sintheta+costheta=0
Ou, equivalentemente,
tantheta=-tfrac12

Resposta

[ 2 sin theta + cos theta = 0 ]

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