Calcule a integral.
integral x^2+1(x^3+3 x)^2 d x

Passo 1

No enunciado estamos com a integral integral x^2+1(x^3+3x)^2,dx. O conteúdo é integração por substituição, pois a derivada do denominador aparece no numerador.

Passo 2

Escolhemos a substituição u = x^3 + 3x. Calculando a derivada, temos du = (3x^2+3),dx = 3(x^2+1),dx.
Isolamos x^2+1,dx = tfracdu3 e substituímos na integral. Fica
integral x^2+1(x^3+3x)^2,dx = integral 1u^2cdotdu3 = 13integral u^-2,du

Passo 3

Usamos a regra de potência:
integral u^-2,du = u^-1-1 = -u^-1
Multiplicando por tfrac13, obtemos -tfrac13u^-1 + C.
Voltando à variável x, substituímos u = x^3+3x e chega-se a
-13u + C = -13,(x^3+3x) + C

Resposta

-13(x^3+3x) + C

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