Ache as equações das esferas de raio igual a raiz20 que contém os pontos A=(3,0,5), B=(1,2,1) e C=(-1,0,1).

Passo 1

O enunciado pede as equações das esferas de raio raiz20 que contêm os pontos A=(3,0,5), B=(1,2,1) e C=(-1,0,1). Para isso, vamos chamar o centro genérico de cada esfera de (x0,y0,z0) e usar a condição de que a distância de (x0,y0,z0) a cada um dos pontos vale raiz20.

Passo 2

Escrevemos as três equações de distância ao quadrado igual a 20:
(x0-3)^2+(y0-0)^2+(z0-5)^2 =20,
(x0-1)^2+(y0-2)^2+(z0-1)^2 =20,
(x0+1)^2+(y0-0)^2+(z0-1)^2 =20

Passo 3

Subtraímos a segunda da primeira e a terceira da primeira para eliminar os termos quadráticos e obter duas equações lineares:
( 1) -( 2) Rightarrow
-,x0 + y0 -2z0 +7 =0 Longrightarrow x0 - y0 +2z0 =7,
( 1) -( 3) Rightarrow
-,x0 - z0 +4 =0 Longrightarrow x0 + z0 =4

Passo 4

Resolvendo o sistema linear
x0 + z0 =4, x0 - y0 +2z0 =7,
podemos parametrizar por t=z0. Da primeira vem x0=4-t e, substituindo na segunda, obtemos y0 = t-3. Assim
(x0,y0,z0) = (4-t,;t-3,;t)

Passo 5

Como ainda precisamos que a distância ao ponto A seja raiz20, impomos
(4-t-3)^2+(t-3)^2+(t-5)^2 =20
Isso desenvolve em
(1-t)^2 + (t-3)^2 + (t-5)^2 =20 ;Longrightarrow; 3t^2 -18t +35 =20 ;Longrightarrow; t^2 -6t +5 =0,
cuja solução é t=1 ou t=5.

Passo 6

Para t=1 o centro é
(x0,y0,z0) = (3,,-2,,1),
e para t=5 o centro é
(x0,y0,z0) = (-1,,2,,5)
Em cada caso o raio é raiz20.

Resposta

Esfera 1: (x-3)^2+(y+2)^2+(z-1)^2 =20,
Esfera 2: (x+1)^2+(y-2)^2+(z-5)^2 =20

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