Verifique se as retas r1 e r2 são coincidentes, paralelas, concorrentes ou reversas e calcule o ângulo ang<=(r1, r2) e a distância d(r1, r2) entre as retas, onde:
r1:lx=3-2 t y=1-t z=1 ; t in R e r2:lx=s y=-4-2 s ; s in R z=1-3 s

Passo 1

O enunciado dá duas retas no espaço e pede para descobrir se elas são coincidentes, paralelas, concorrentes ou reversas, além de calcular o ângulo ang<=(r1,r2) e a distância d(r1,r2). O conteúdo é geometria analítica de retas no espaço, usando vetores diretores, produto escalar e produto vetorial.

Passo 2

Extraímos de
o ponto
o ponto .

Passo 3

Para testar paralelismo, buscamos k tal que vec v1=k,vec v2. Isso exigiria
-2=kcdot1 e -1=kcdot(-2) simultaneamente, o que é impossível. Logo as retas não são paralelas nem coincidentes.

Passo 4

Para testar se se intersectam, igualamos
3-2t=s, 1-t=-4-2s, 1=1-3s
Da última obtemos s=0; então 3-2t=0 t=3/2, mas esse valor não satisfaz 1-t=-4. Não há ponto em comum, logo não são concorrentes.

Passo 5

Como não são paralelas nem concorrentes, as retas são reversas (skew).

Passo 6

O ângulo entre retas é o ângulo entre vec v1 e vec v2:
costheta=vec v1cdotvec v2|vec v1||vec v2|,
com vec v1cdotvec v2=(-2)cdot1+(-1)cdot(-2)+0cdot(-3)=0. Assim costheta=0 e
theta=90^circ

Passo 7

A distância entre retas reversas é
d=l|,(P2-P1)cdot(vec v1timesvec v2)r||vec v1timesvec v2|
Calculamos
P2-P1=(-3,-5,0), vec v1timesvec v2 = i & j & k -2 & -1 & 0 1 & -2 & -3 =(3,-6,5),
|vec v1timesvec v2|=raiz3^2+(-6)^2+5^2=raiz70, e o produto misto
(P2-P1)cdot(vec v1timesvec v2) =-3cdot3+(-5)cdot(-6)+0cdot5=21
Portanto
d=21raiz70=3raiz7010

Resposta

As retas são reversas.
ang<=(r1,r2)=90^circ.
d(r1,r2)=dfrac3raiz7010.

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