ache as equaçoes na forma vetorial paramétrica e simétrica da reta r que passa pelo pontos \mathrm{A}=(3,-1,2) e \mathrm{B}=(-6,-7,5). Verifique se o ponto C=(0,3,4) pertence a reta r.
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que pede (peguei estes pontos do enunciado):
Pontos dados: \mathrm{A}=(3,-1,2) e \mathrm{B}=(-6,-7,5).
Ponto a testar: \mathrm{C}=(0,3,4).
O enunciado pede:
escrever a reta r que passa por A e B na forma vetorial paramétrica;
escrever a mesma reta na forma simétrica;
verificar se C pertence à reta r.
Passo 2
Entendendo a direção da reta (o vetor diretor):
A reta que passa por dois pontos tem como vetor diretor o vetor que vai de um ponto ao outro. Esse vetor é obtido subtraindo coordenadas: \mathbf{v}=\overrightarrow{AB}=\mathrm{B}-\mathrm{A}.
Podemos simplificar esse vetor dividindo por 3, obtendo um vetor diretor mais simples:
\mathbf{v}=(-3,\\\ -2,\\\ 1).
Explicação rápida: qualquer múltiplo não-nulo de um vetor diretor descreve a mesma direção da reta. Escolhemos \mathbf{v}=(-3,-2,1) porque é mais simples para calcular à mão.
Passo 3
Formando a equação vetorial paramétrica:
A forma vetorial paramétrica de uma reta que passa por um ponto \mathbf{r}_0 e tem vetor diretor \mathbf{v} é
Explicação: cada componente vem somando à coordenada do ponto inicial o parâmetro vezes a componente correspondente do vetor diretor.]
Passo 5
Passando para a forma simétrica:
A forma simétrica é obtida isolando t em cada uma das três equações paramétricas e igualando as expressões:
t=\frac{x-3}{-3}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z-2}{1}.
Assim, uma forma simétrica conveniente é
\frac{x-3}{-3}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z-2}{1}.
Observação didática: se alguma componente do vetor diretor fosse zero, não se poderia dividir por ela; então naquela componente escrever-se-ia a coordenada fixa (por exemplo x=x_0).
Passo 6
Verificando se C=(0,3,4) pertence à reta r:
Método direto: tentar encontrar um t que satisfaça as três equações paramétricas simultaneamente.