ache as equaçoes na forma vetorial paramétrica e simétrica da reta r que passa pelo pontos \mathrm{A}=(3,-1,2) e \mathrm{B}=(-6,-7,5). Verifique se o ponto C=(0,3,4) pertence a reta r.

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede (peguei estes pontos do enunciado):
  • Pontos dados: \mathrm{A}=(3,-1,2) e \mathrm{B}=(-6,-7,5).
  • Ponto a testar: \mathrm{C}=(0,3,4).
    O enunciado pede:
  1. escrever a reta r que passa por A e B na forma vetorial paramétrica;
  2. escrever a mesma reta na forma simétrica;
  3. verificar se C pertence à reta r.

Passo 2

Entendendo a direção da reta (o vetor diretor):
  • A reta que passa por dois pontos tem como vetor diretor o vetor que vai de um ponto ao outro. Esse vetor é obtido subtraindo coordenadas: \mathbf{v}=\overrightarrow{AB}=\mathrm{B}-\mathrm{A}.
  • Calculemos componente a componente:
\overrightarrow{AB}=(-6-3,\\\ -7-(-1),\\\ 5-2)=(-9,\\\ -6,\\\ 3).
  • Podemos simplificar esse vetor dividindo por 3, obtendo um vetor diretor mais simples:
\mathbf{v}=(-3,\\\ -2,\\\ 1).
Explicação rápida: qualquer múltiplo não-nulo de um vetor diretor descreve a mesma direção da reta. Escolhemos \mathbf{v}=(-3,-2,1) porque é mais simples para calcular à mão.

Passo 3

Formando a equação vetorial paramétrica:
  • A forma vetorial paramétrica de uma reta que passa por um ponto \mathbf{r}_0 e tem vetor diretor \mathbf{v} é
\mathbf{r}(t)=\mathbf{r}_0 + t\,\mathbf{v},\qquad t\in\mathbb{R},
onde \mathbf{r}(t) é a posição genérica de um ponto da reta quando varre o parâmetro t.
  • Tomando \mathbf{r}_0=\mathrm{A}=(3,-1,2) e \mathbf{v}=(-3,-2,1), obtemos
\mathbf{r}(t)=(3,-1,2)+t(-3,-2,1).
Isto é a forma vetorial paramétrica pedida.

Passo 4

Escrevendo as equações paramétricas em coordenadas (mais concretas para usar na prova):
  • Separando as componentes do vetor acima, temos as equações paramétricas
\begin{cases} x=3-3t,\\[4pt] y=-1-2t,\\[4pt] z=2+t, \end{cases}\qquad t\in\mathbb{R}.
Explicação: cada componente vem somando à coordenada do ponto inicial o parâmetro vezes a componente correspondente do vetor diretor.]

Passo 5

Passando para a forma simétrica:
  • A forma simétrica é obtida isolando t em cada uma das três equações paramétricas e igualando as expressões:
t=\frac{x-3}{-3}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z-2}{1}.
  • Assim, uma forma simétrica conveniente é
\frac{x-3}{-3}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z-2}{1}.
Observação didática: se alguma componente do vetor diretor fosse zero, não se poderia dividir por ela; então naquela componente escrever-se-ia a coordenada fixa (por exemplo x=x_0).

Passo 6

Verificando se C=(0,3,4) pertence à reta r:
  • Método direto: tentar encontrar um t que satisfaça as três equações paramétricas simultaneamente.
  • Da primeira equação, substituindo x=0:
0=3-3t \quad\Rightarrow\quad 3t=3 \quad\Rightarrow\quad t=1.
  • Com esse t=1, verifiquemos as outras coordenadas:
y=-1-2t = -1-2\cdot 1 = -3,
mas o ponto C tem y=3. Como -3\neq 3, já há contradição; portanto não existe t que satisfaça simultaneamente todas as coordenadas.
  • Alternativamente, pela forma simétrica, calcularíamos
\frac{0-3}{-3}=1,\qquad \frac{3+1}{-2}=-2,\qquad \frac{4-2}{1}=2,
os três quocientes são diferentes ( 1, -2, 2), então C não satisfaz a igualdade simétrica.

Passo 7

Conclusão sobre a pertença:
  • Como não existe parâmetro t que faça coincidir todas as coordenadas de C com as da reta, temos que C não pertence à reta r.

Resposta

\mathbf{r}(t)=(3,-1,2)+t(-3,-2,1),\\ t\in\mathbb{R}
\dfrac{x-3}{-3}=\dfrac{y+1}{-2}=\dfrac{z-2}{1}
C\notin r

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