Se as retas são ortogonais, então as retas também são perpendiculares.
Escolha uma opção:
- Verdadeiro
- Falso
Passo 1
O enunciado apresenta a afirmação: “Se as retas são ortogonais, então as retas também são perpendiculares.”
Pede-se escolher entre as opções: Verdadeiro ou Falso.
Não há outros dados numéricos; só a proposição lógica sobre as relações entre os termos “ortogonais” e “perpendiculares”.
Pede-se escolher entre as opções: Verdadeiro ou Falso.
Não há outros dados numéricos; só a proposição lógica sobre as relações entre os termos “ortogonais” e “perpendiculares”.
Passo 2
Vamos definir com calma os termos (isso é importante para entender por que a afirmação é verdadeira ou falsa).
Definição 1 — vetores e produto escalar: sejam
e
vetores no plano. O produto escalar é
Existe também a relação que liga produto escalar ao ângulo
entre os vetores:
onde
é o comprimento (norma) do vetor
.
Explicando isso: se
, então
. Como as normas são positivas quando
e
não são o vetor nulo, segue
, ou seja
(ângulo reto).
Passo 3
Definição 2 — retas e direção: uma reta no plano tem um vetor diretor que indica sua direção. Duas retas têm ângulo entre si igual ao ângulo entre seus vetores diretores.
Definição 3 — ortogonais e perpendiculares (interpretação usual no plano):
- Diz-se que duas retas são ortogonais quando os seus vetores diretores são ortogonais (produto escalar zero), isto é, formam um ângulo de
. - Diz-se que duas retas são perpendiculares quando elas se encontram formando um ângulo de
.
Agora a ligação lógica no plano: se duas retas têm vetores diretores ortogonais, então o ângulo entre as retas é
. No plano, duas retas com direções diferentes (vetores diretores não colineares) sempre se intersectam em algum ponto. Logo, ter ângulo
e intersectar significa precisamente que as retas são perpendiculares. Portanto, sob a interpretação usual em geometria plana, “ortogonais” implica “perpendiculares”.
Passo 4
Um pequeno comentário importante (para não ser pego de surpresa em provas com enunciados mais sutis): em espaços tridimensionais há duas sutilezas:
- Duas retas em
podem ter vetores diretores ortogonais mas não se intersectarem (são retas reversas ou “skew lines”). Nesse caso seus vetores são ortogonais, mas as retas não se cruzam, então muitos autores não chamam essas retas de “perpendiculares” porque perpendicularidade geralmente exige interseção com ângulo reto. - Por isso, se o enunciado não especifica o ambiente (plano versus espaço 3D) pode haver ambiguidade. Porém, na interpretação padrão em geometria euclidiana do plano a equivalência vale.
Passo 5
Conclusão prática para a prova: se o contexto for geometria plana (o mais comum neste tipo de enunciado), as palavras “ortogonais” e “perpendiculares” são sinônimas — então a afirmação é verdadeira. Não se esqueça de checar o contexto (plano ou espaço) se a questão vier acompanhada de retas no espaço.
Resposta
Verdadeiro