Dadas as bases B=\{(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1)\} e C=\{(7,7,4),(-4,-2,0),(1,-3,2)\} do \mathbb{R}^{3} determine a matriz mudança de base de B para C . M_{B C}.

Passo 1

O enunciado dá duas bases do \mathbb{R}^{3} e pede a matriz de mudança de base de B para C, M_{BC}.
Dados fornecidos:
  • Base B=\{\,b_{1},b_{2},b_{3}\,\} com b_{1}=(1,0,1),\qquad b_{2}=(1,1,0),\qquad b_{3}=(0,1,1).
  • Base C=\{\,c_{1},c_{2},c_{3}\,\} com c_{1}=(7,7,4),\qquad c_{2}=(-4,-2,0),\qquad c_{3}=(1,-3,2).
O que se pede explicitamente:
  • Determinar M_{BC}, a matriz tal que, para todo v\in\mathbb{R}^{3}, [v]_{C}=M_{BC}\,[v]_{B}.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática):
  • A matriz M_{BC} tem como colunas as coordenadas, na base C, dos vetores da base B. Ou seja, a primeira coluna de M_{BC} é [b_{1}]_{C}, a segunda é [b_{2}]_{C} e a terceira é [b_{3}]_{C}.
  • Para encontrar [b_{i}]_{C} resolvemos, para cada i, b_{i}=\alpha_{1}c_{1}+\alpha_{2}c_{2}+\alpha_{3}c_{3},ou, em forma matricial, se C é a matriz cujas colunas são os c_j, C\,\alpha = b_{i}\quad\Rightarrow\quad \alpha = C^{-1}b_{i}.
  • Assim, se montarmos a matriz B cujas colunas são b_{1},b_{2},b_{3}, obtemos M_{BC}=C^{-1}B.
Vou seguir esse caminho: montar C e B, calcular C^{-1} e então M_{BC}=C^{-1}B.

Passo 3

Matrizes cujas colunas são as bases (peguei esses vetores do enunciado):
C=\begin{pmatrix} 7 & -4 & 1\\[4pt] 7 & -2 & -3\\[4pt] 4 & 0 & 2 \end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular \det\text{(C)} (passo a passo, explicando cada termo):
Usando desenvolvimento pela primeira linha,
\det\text{(C)}=7\det\begin{pmatrix}-2 & -3\\[3pt]0 & 2\end{pmatrix} -(-4)\det\begin{pmatrix}7 & -3\\[3pt]4 & 2\end{pmatrix} +1\det\begin{pmatrix}7 & -2\\[3pt]4 & 0\end{pmatrix}.
Agora cada menor:
\det\begin{pmatrix}-2 & -3\\[3pt]0 & 2\end{pmatrix}=(-2)\cdot2-(-3)\cdot0=-4,
\det\begin{pmatrix}7 & -3\\[3pt]4 & 2\end{pmatrix}=7\cdot2-(-3)\cdot4=14+12=26,
\det\begin{pmatrix}7 & -2\\[3pt]4 & 0\end{pmatrix}=7\cdot0-(-2)\cdot4=8.
Substituindo:
\det\text{(C)}=7(-4)+4(26)+1(8)=-28+104+8=84.
Portanto \det\text{(C)}=84\neq0, logo C é invertível.]

Passo 5

Calcular C^{-1} via matriz dos cofatores (vou mostrar cada menor e cofator para ficar claro).
Calcular os cofatores C_{ij}:
  • Linha 1:
    C_{11}=\det\begin{pmatrix}-2 & -3\\[3pt]0 & 2\end{pmatrix}=-4,\quad C_{12}=-\det\begin{pmatrix}7 & -3\\[3pt]4 & 2\end{pmatrix}=-26,\quad C_{13}=\det\begin{pmatrix}7 & -2\\[3pt]4 & 0\end{pmatrix}=8.
  • Linha 2:
    C_{21}=-\det\begin{pmatrix}-4 & 1\\[3pt]0 & 2\end{pmatrix}=8,\quad C_{22}=\det\begin{pmatrix}7 & 1\\[3pt]4 & 2\end{pmatrix}=10,\quad C_{23}=-\det\begin{pmatrix}7 & -4\\[3pt]4 & 0\end{pmatrix}=-16.
  • Linha 3:
    C_{31}=\det\begin{pmatrix}-4 & 1\\[3pt]-2 & -3\end{pmatrix}=14,\quad C_{32}=-\det\begin{pmatrix}7 & 1\\[3pt]7 & -3\end{pmatrix}=28,\quad C_{33}=\det\begin{pmatrix}7 & -4\\[3pt]7 & -2\end{pmatrix}=14.
A matriz de cofatores (antes da transposição) é
\begin{pmatrix} -4 & -26 & 8\\[4pt] 8 & 10 & -16\\[4pt] 14 & 28 & 14 \end{pmatrix}.
A adjunta (adjugate) é a transposta dessa:
\operatorname{adj}\text{(C)}= \begin{pmatrix} -4 & 8 & 14\\[4pt] -26 & 10 & 28\\[4pt] 8 & -16 & 14 \end{pmatrix}.
Logo
C^{-1}=\frac{1}{\det\text{(C)}}\operatorname{adj}\text{(C)}=\frac{1}{84} \begin{pmatrix} -4 & 8 & 14\\[4pt] -26 & 10 & 28\\[4pt] 8 & -16 & 14 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Calcular M_{BC}=C^{-1}B. É prático calcular primeiro \operatorname{adj}\text{(C)}\,B e depois dividir por 84.
Multiplicando \operatorname{adj}\text{(C)} por B. Vou calcular coluna a coluna (cada coluna é combinação das colunas de \operatorname{adj}\text{(C)}):
  • Para b_{1}=(1,0,1) obtemos coluna \operatorname{adj}\text{(C)}\,b_{1}= coluna1 + coluna3 da \operatorname{adj}\text{(C)}:
    \begin{pmatrix}-4\\[3pt]-26\\[3pt]8\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}14\\[3pt]28\\[3pt]14\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}10\\[3pt]2\\[3pt]22\end{pmatrix}.
  • Para b_{2}=(1,1,0) obtemos coluna1 + coluna2:
    \begin{pmatrix}-4\\[3pt]-26\\[3pt]8\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}8\\[3pt]10\\[3pt]-16\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\[3pt]-16\\[3pt]-8\end{pmatrix}.
  • Para b_{3}=(0,1,1) obtemos coluna2 + coluna3:
    \begin{pmatrix}8\\[3pt]10\\[3pt]-16\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}14\\[3pt]28\\[3pt]14\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}22\\[3pt]38\\[3pt]-2\end{pmatrix}.
Portanto
\operatorname{adj}\text{(C)}\,B= \begin{pmatrix} 10 & 4 & 22\\[4pt] 2 & -16 & 38\\[4pt] 22 & -8 & -2 \end{pmatrix}.
Dividindo por 84,
M_{BC}=C^{-1}B=\frac{1}{84} \begin{pmatrix} 10 & 4 & 22\\[4pt] 2 & -16 & 38\\[4pt] 22 & -8 & -2 \end{pmatrix}.]

Passo 7

Simplificação final: todos os elementos da matriz interna são múltiplos de 2, então posso fatorar 2 e simplificar:
M_{BC}=\frac{2}{84} \begin{pmatrix} 5 & 2 & 11\\[4pt] 1 & -8 & 19\\[4pt] 11 & -4 & -1 \end{pmatrix} =\frac{1}{42} \begin{pmatrix} 5 & 2 & 11\\[4pt] 1 & -8 & 19\\[4pt] 11 & -4 & -1 \end{pmatrix}.
Essa é a forma mais simples em frações racionais. Como interpretação rápida: a primeira coluna \dfrac{1}{42}(5,1,11)^{T} são as coordenadas de b_{1} na base C; a segunda coluna \dfrac{1}{42}(2,-8,-4)^{T} são as coordenadas de b_{2} na base C; e assim por diante.]

Resposta

M_{BC}=\frac{1}{42} \begin{pmatrix} 5 & 2 & 11\\[4pt] 1 & -8 & 19\\[4pt] 11 & -4 & -1 \end{pmatrix}]

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