Dadas as bases B=\{(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1)\} e C=\{(7,7,4),(-4,-2,0),(1,-3,2)\} do \mathbb{R}^{3} determine a matriz mudança de base de B para C . M_{B C}.
Passo 1
O enunciado dá duas bases do \mathbb{R}^{3} e pede a matriz de mudança de base de B para C, M_{BC}.
Dados fornecidos:
Base B=\{\,b_{1},b_{2},b_{3}\,\} comb_{1}=(1,0,1),\qquad b_{2}=(1,1,0),\qquad b_{3}=(0,1,1).
Base C=\{\,c_{1},c_{2},c_{3}\,\} comc_{1}=(7,7,4),\qquad c_{2}=(-4,-2,0),\qquad c_{3}=(1,-3,2).
O que se pede explicitamente:
Determinar M_{BC}, a matriz tal que, para todo v\in\mathbb{R}^{3},[v]_{C}=M_{BC}\,[v]_{B}.
Passo 2
Ideia do método (explicação didática):
A matriz M_{BC} tem como colunas as coordenadas, na base C, dos vetores da base B. Ou seja, a primeira coluna de M_{BC} é [b_{1}]_{C}, a segunda é [b_{2}]_{C} e a terceira é [b_{3}]_{C}.
Para encontrar [b_{i}]_{C} resolvemos, para cada i,b_{i}=\alpha_{1}c_{1}+\alpha_{2}c_{2}+\alpha_{3}c_{3},ou, em forma matricial, se C é a matriz cujas colunas são os c_j,C\,\alpha = b_{i}\quad\Rightarrow\quad \alpha = C^{-1}b_{i}.
Assim, se montarmos a matriz B cujas colunas são b_{1},b_{2},b_{3}, obtemosM_{BC}=C^{-1}B.
Vou seguir esse caminho: montar C e B, calcular C^{-1} e então M_{BC}=C^{-1}B.
Passo 3
Matrizes cujas colunas são as bases (peguei esses vetores do enunciado):
Essa é a forma mais simples em frações racionais. Como interpretação rápida: a primeira coluna \dfrac{1}{42}(5,1,11)^{T} são as coordenadas de b_{1} na base C; a segunda coluna \dfrac{1}{42}(2,-8,-4)^{T} são as coordenadas de b_{2} na base C; e assim por diante.]