Determine a equação geral do plano que passa pelos pontos A=(1,2,-1), B=(2,3,1) e C=(3,-1,1).

Passo 1

O enunciado pede: determinar a equação geral do plano que passa pelos pontos \,A=(1,2,-1), \,B=(2,3,1) e \,C=(3,-1,1).
Informações dadas:
  • Ponto \,A=(1,2,-1).
  • Ponto \,B=(2,3,1).
  • Ponto \,C=(3,-1,1).
O objetivo é encontrar a equação geral do plano (no formato \,ax+by+cz+d=0) que contém esses três pontos.

Passo 2

Primeiro vamos construir dois vetores que ficam no plano: \vec{AB} e \vec{AC}. Esses vetores são obtidos subtraindo coordenadas dos pontos:
\vec{AB} = B - A = (\,2-1,\,3-2,\,1-(-1)\,) = (\,1,\,1,\,2\,).
\vec{AC} = C - A = (\,3-1,\,-1-2,\,1-(-1)\,) = (\,2,\,-3,\,2\,).
Explicação rápida (sem complicar): \vec{AB} é o vetor que vai de A até B; para cada coordenada subtrai-se a coordenada de A da coordenada de B.

Passo 3

Geometria essencial: o plano pode ser descrito por um vetor normal \vec{n}=(a,b,c) — ou seja, um vetor perpendicular a todo vetor do plano. Se tivermos dois vetores no plano, o produto vetorial (cross product) deles produz um vetor perpendicular aos dois, logo é um vetor normal ao plano.
Vamos calcular o produto vetorial \vec{n}=\vec{AB}\times\vec{AC}. Usando a regra do determinante (expansão por cofatores):
\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & 1 & 2 \\\\ 2 & -3 & 2 \end{vmatrix}.
Calculando componente a componente:
  • Componente x (coeficiente de \mathbf{i}):
1\cdot 2 - 2\cdot(-3) = 2 + 6 = 8.
  • Componente y (coeficiente de \mathbf{j}, lembrar do sinal negativo na expansão):
-(1\cdot 2 - 2\cdot 2) = -(2 - 4) = -(-2) = 2.
  • Componente z (coeficiente de \mathbf{k}):
1\cdot(-3) - 1\cdot 2 = -3 - 2 = -5.
Portanto
\vec{n} = (\,8,\,2,\,-5\,).
Interpretação: esse vetor é perpendicular a \vec{AB} e a \vec{AC}, logo é normal ao plano determinado por A,B,C.

Passo 4

Fórmula do plano a partir de uma normal: se \vec{n}=(a,b,c) é normal e P_0=(x_0,y_0,z_0) é um ponto do plano, então a equação do plano é
a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0.
Aqui podemos usar o ponto A=(1,2,-1) e \vec{n}=(8,2,-5). Substituindo:
8(x-1)+2(y-2)-5(z-(-1))=0.
Repare que -5(z-(-1))=-5(z+1). Vamos simplificar essa expressão para obter a forma geral.

Passo 5

Desenvolvendo os parênteses:
8x-8 + 2y-4 -5z -5 = 0.
Somando os termos constantes: -8-4-5 = -17. Assim a forma linear fica
8x + 2y -5z -17 = 0.
Como verificação (importante para a prova): é bom checar que os três pontos satisfazem a equação.
  • Para A=(1,2,-1): 8\cdot1 + 2\cdot2 -5\cdot(-1) -17 = 8+4+5-17=0.
  • Para B=(2,3,1): 8\cdot2 + 2\cdot3 -5\cdot1 -17 =16+6-5-17=0.
  • Para C=(3,-1,1): 8\cdot3 + 2\cdot(-1) -5\cdot1 -17 =24-2-5-17=0.
Todos dão zero, então a equação está correta.

Resposta

8x+2y-5z-17=0

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