Determine a equação geral do plano que passa pelos pontos A=(1,2,-1), B=(2,3,1) e C=(3,-1,1).
Passo 1
O enunciado pede: determinar a equação geral do plano que passa pelos pontos \,A=(1,2,-1), \,B=(2,3,1) e \,C=(3,-1,1).
Informações dadas:
Ponto \,A=(1,2,-1).
Ponto \,B=(2,3,1).
Ponto \,C=(3,-1,1).
O objetivo é encontrar a equação geral do plano (no formato \,ax+by+cz+d=0) que contém esses três pontos.
Passo 2
Primeiro vamos construir dois vetores que ficam no plano: \vec{AB} e \vec{AC}. Esses vetores são obtidos subtraindo coordenadas dos pontos:
\vec{AB} = B - A = (\,2-1,\,3-2,\,1-(-1)\,) = (\,1,\,1,\,2\,).
\vec{AC} = C - A = (\,3-1,\,-1-2,\,1-(-1)\,) = (\,2,\,-3,\,2\,).
Explicação rápida (sem complicar): \vec{AB} é o vetor que vai de A até B; para cada coordenada subtrai-se a coordenada de A da coordenada de B.
Passo 3
Geometria essencial: o plano pode ser descrito por um vetor normal \vec{n}=(a,b,c) — ou seja, um vetor perpendicular a todo vetor do plano. Se tivermos dois vetores no plano, o produto vetorial (cross product) deles produz um vetor perpendicular aos dois, logo é um vetor normal ao plano.
Vamos calcular o produto vetorial \vec{n}=\vec{AB}\times\vec{AC}. Usando a regra do determinante (expansão por cofatores):