Temos duas caixas: na primeira há 3 bolas brancas e 7 pretas e na segunda, 1 bola branca e 5 pretas. De uma caixa escolhida ao acaso, seleciona-se uma bola e verifica-se que é preta. Qual a probabilidade de que a caixa de onde foi extraída a bola seja a primeira? 21/46

Passo 1

O enunciado diz que temos duas caixas escolhidas com probabilidade igual ( \tfrac12 cada), sendo que na caixa 1 há 3 bolas brancas e 7 pretas, e na caixa 2 há 1 bola branca e 5 pretas. Selecionamos uma caixa ao acaso, tiramos uma bola e ela é preta. Precisamos usar o Teorema de Bayes para calcular a probabilidade de que essa bola preta tenha vindo da caixa 1.

Passo 2

Definimos os eventos:
  • C_1: “a caixa escolhida é a primeira” com P(C_1)=\tfrac12.
  • C_2: “a caixa escolhida é a segunda” com P(C_2)=\tfrac12.
  • B: “a bola retirada é preta”.
Na caixa 1, a probabilidade de retirar uma bola preta é
P(B\mid C_1) =\frac{7}{3+7} =\frac{7}{10}.

Passo 3

Na caixa 2, a probabilidade de retirar uma bola preta é
P(B\mid C_2) =\frac{5}{1+5} =\frac{5}{6}.

Passo 4

Pelo Teorema de Bayes,
P(C_1\mid B) =\frac{P(B\mid C_1)\,P(C_1)}{P(B\mid C_1)\,P(C_1) + P(B\mid C_2)\,P(C_2)}.
Substituindo os valores:
P(C_1\mid B) =\frac{\tfrac{7}{10}\cdot\tfrac12}{\tfrac{7}{10}\cdot\tfrac12 + \tfrac{5}{6}\cdot\tfrac12} =\frac{\tfrac{7}{20}}{\tfrac{7}{20} + \tfrac{5}{12}} =\frac{\tfrac{7}{20}}{\tfrac{21}{60} + \tfrac{25}{60}} =\frac{\tfrac{7}{20}}{\tfrac{46}{60}} =\frac{7}{20}\cdot\frac{60}{46} =\frac{21}{46}.

Resposta

\displaystyle \frac{21}{46}

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