Ache a expressão da derivada de cada uma das seguintes funções:
f(x)=(x+2)^x

Passo 1

Então, a gente tem que encontrar a derivada da função $ f(x) = (x + 2)^x $. Isso está relacionado ao cálculo de derivadas, especificamente para funções que têm uma variável tanto na base quanto no expoente. Para resolver isso, vamos precisar usar logs e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos facilitar a derivação aplicando o logaritmo natural nos dois lados da equação. Isso ajuda a lidar com a parte do expoente que também depende de $ x $.
x

Passo 3

Usando a propriedade dos logaritmos que diz $ \ln(a^b) = b \ln(a) $, podemos simplificar o lado direito:
ln(a^b) = b ln(a)

Passo 4

Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a $ x $. Lembrando que a derivada de $ \ln(f(x)) $ em relação a $ x $ é $ \frac{f’(x)}{f(x)} $ pela regra da cadeia.
x

Passo 5

Para derivar o lado direito, usamos a regra do produto, que diz que $ \frac{d}{dx}[u \cdot v] = u’ \cdot v + u \cdot v’ $. Aqui, $ u = x $ e $ v = \ln(x + 2) $.
ddx[u cdot v] = u' cdot v + u cdot v'
Simplificando:
u = x

Passo 6

Agora, temos:
f'(x)f(x) = ln(x + 2) + xx + 2
Multiplicando ambos os lados por $ f(x) $ para isolar $ f’(x) $:
f(x)

Passo 7

Substituindo $ f(x) $ pela função original $ (x + 2)^x $:
f(x)

Resposta

A derivada de $ f(x) = (x + 2)^x $ é:
f(x) = (x + 2)^x

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