Ache a expressão da derivada de cada uma das seguintes funções:
Passo 1
Então, a gente tem que encontrar a derivada da função $ f(x) = (x + 2)^x $. Isso está relacionado ao cálculo de derivadas, especificamente para funções que têm uma variável tanto na base quanto no expoente. Para resolver isso, vamos precisar usar logs e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos facilitar a derivação aplicando o logaritmo natural nos dois lados da equação. Isso ajuda a lidar com a parte do expoente que também depende de $ x $.
Passo 3
Usando a propriedade dos logaritmos que diz $ \ln(a^b) = b \ln(a) $, podemos simplificar o lado direito:
Passo 4
Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a $ x $. Lembrando que a derivada de $ \ln(f(x)) $ em relação a $ x $ é $ \frac{f’(x)}{f(x)} $ pela regra da cadeia.
Passo 5
Para derivar o lado direito, usamos a regra do produto, que diz que $ \frac{d}{dx}[u \cdot v] = u’ \cdot v + u \cdot v’ $. Aqui, $ u = x $ e $ v = \ln(x + 2) $.
Simplificando:
Passo 6
Agora, temos:
Multiplicando ambos os lados por $ f(x) $ para isolar $ f’(x) $:
Passo 7
Substituindo $ f(x) $ pela função original $ (x + 2)^x $:
Resposta
A derivada de $ f(x) = (x + 2)^x $ é: