Use a fórmula de redução
integral sen^2 x d x=x2-sen 2 x4+C
para calcular integral0^pi / 2 sen^4 x d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida integral0^pi/2sin^4x,dx, usando a fórmula de redução e, em especial, a identidade dada para integralsin^2x,dx. Vamos aplicar métodos de redução de potência em funções trigonométricas.

Passo 2

Usamos a fórmula geral de redução de potências de seno:
integralsin^nx,dx = -sin^n-1xcos xn + n-1nintegralsin^n-2x,dx
Para n=4, obtemos
integralsin^4x,dx = -sin^3xcos x4 + 34integralsin^2x,dx

Passo 3

Agora substituímos integralsin^2x,dx pela fórmula dada:
integralsin^2x,dx = x2 - sin2x4 + C
Logo,
integralsin^4x,dx = -sin^3xcos x4 + 34l(x2 - sin2x4r) + C = -sin^3xcos x4 + 3x8 - 3sin2x16 + C

Passo 4

Falta avaliar de 0 a pi/2. Definimos
F(x) = -sin^3xcos x4 + 3x8 - 3sin2x16
Em x=pi/2: sin(pi/2)=1, cos(pi/2)=0, sin(pi)=0, logo F(pi/2)=3pi/16.
Em x=0: todos os termos são zero, então F(0)=0.
Assim,
integral0^pi/2sin^4x,dx = F(pi/2) - F(0) = 3pi16

Resposta

3pi16

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