Em cada um dos Problemas 10a 12, resolva o problema de valor inicial dado. Descreva o comportamento da solução quando t infty.
10. x^prime=(rr5 & -1 3 & 1) x, x(0)=binom2-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais onde temos x^prime = (rr5 & -1 3 & 1) x e a condição inicial x(0) = binom2-1. Aqui, estamos lidando com sistemas lineares de equações diferenciais, e vamos precisar usar conceitos de autovalores e autovetores para achar a solução geral. Também vamos analisar como a solução se comporta quando t vai para o infinito.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os autovalores da matriz A = (rr5 & -1 3 & 1). Os autovalores lambda são encontrados resolvendo a equação característica det(A - lambda I) = 0, onde I é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos calcular o determinante:
det(cc5 - lambda & -1 3 & 1 - lambda) = (5 - lambda)(1 - lambda) - (-1)(3) = (5 - lambda)(1 - lambda) + 3
Expandindo:
(5 - lambda)(1 - lambda) + 3 = 5(1 - lambda) - lambda(1 - lambda) + 3 = 5 - 5lambda - lambda + lambda^2 + 3 = lambda^2 - 6lambda + 8
Então, a equação característica é:
lambda^2 - 6lambda + 8 = 0

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática lambda^2 - 6lambda + 8 = 0 usando a fórmula de Bhaskara:
lambda = 6 pm raiz36 - 322 = 6 pm raiz42 = 6 pm 22
Assim, temos dois autovalores:
lambda1 = 6 + 22 = 4 e lambda2 = 6 - 22 = 2

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Começando com lambda1 = 4, resolvemos (A - 4I)v = 0:
(cc5 - 4 & -1 3 & 1 - 4) v = (cc1 & -1 3 & -3) v = 0
Isso simplifica para v1 = v2. Então, um autovetor para lambda1 = 4 é v1 = binom11.

Passo 6

Fazendo o mesmo para lambda2 = 2, resolvemos (A - 2I)v = 0:
(cc5 - 2 & -1 3 & 1 - 2) v = (cc3 & -1 3 & -1) v = 0
Isso simplifica para 3v1 - v2 = 0, então v2 = 3v1. Um autovetor para lambda2 = 2 é v2 = binom13.

Passo 7

A solução geral do sistema é uma combinação das soluções associadas a cada autovalor:
x(t) = C1 e^4t binom11 + C2 e^2t binom13
Onde C1 e C2 são constantes que determinamos usando a condição inicial.

Passo 8

Aplicando a condição inicial x(0) = binom2-1:
x(0) = C1 binom11 + C2 binom13 = binomC1 + C2C1 + 3C2 = binom2-1
Isso nos dá o sistema:
C1 + C2 = 2 C1 + 3C2 = -1

Passo 9

Resolvendo o sistema:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(C1 + 3C2) - (C1 + C2) = -1 - 2 2C2 = -3 C2 = -32
Substituindo na primeira equação:
C1 - 32 = 2 C1 = 72

Passo 10

Substituindo C1 e C2 na solução geral:
x(t) = 72 e^4t binom11 - 32 e^2t binom13 = binom72 e^4t - 32 e^2t72 e^4t - 92 e^2t

Resposta

A solução do sistema é x(t) = binom72 e^4t - 32 e^2t72 e^4t - 92 e^2t. Quando t infty, os termos com e^4t dominam, fazendo com que x(t) cresça exponencialmente na direção do autovetor binom11.

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