Em cada um dos Problemas 10a 12, resolva o problema de valor inicial dado. Descreva o comportamento da solução quando
.
10.
10.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais onde temos
e a condição inicial
. Aqui, estamos lidando com sistemas lineares de equações diferenciais, e vamos precisar usar conceitos de autovalores e autovetores para achar a solução geral. Também vamos analisar como a solução se comporta quando
vai para o infinito.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os autovalores da matriz
. Os autovalores
são encontrados resolvendo a equação característica
, onde
é a matriz identidade.
Passo 3
Vamos calcular o determinante:
Expandindo:
Então, a equação característica é:
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Assim, temos dois autovalores:
Passo 5
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Começando com
, resolvemos
:
Isso simplifica para
. Então, um autovetor para
é
.
Passo 6
Fazendo o mesmo para
, resolvemos
:
Isso simplifica para
, então
. Um autovetor para
é
.
Passo 7
A solução geral do sistema é uma combinação das soluções associadas a cada autovalor:
Onde
e
são constantes que determinamos usando a condição inicial.
Passo 8
Aplicando a condição inicial
:
Isso nos dá o sistema:
Passo 9
Resolvendo o sistema:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Substituindo na primeira equação:
Passo 10
Substituindo
e
na solução geral:
Resposta
A solução do sistema é
. Quando
, os termos com
dominam, fazendo com que
cresça exponencialmente na direção do autovetor
.