A função
é definida implicitamente
pela equação
se para todo
temos
. Mostre que se
e
são diferenciáveis, então:
pela equação
Passo 1
A questão diz que temos uma função definida implicitamente por F(x,y)=0, e queremos encontrar a derivada dy/dx de y=f(x). O conteúdo envolve derivadas parciais e a regra da cadeia para funções compostas, e vamos precisar que F e f sejam diferenciáveis e que ∂F/∂y≠0.
Passo 2
Como F(x,f(x))≡0 para todo x em Dom
, podemos diferenciar ambos os lados em relação a x. Isso vale porque F e f são diferenciáveis, permitindo aplicar a regra da cadeia.
, podemos diferenciar ambos os lados em relação a x. Isso vale porque F e f são diferenciáveis, permitindo aplicar a regra da cadeia.
Passo 3
Pela regra da cadeia, a derivada total de F(x,f(x)) em relação a x é dada por:
Passo 4
Agora isolamos f’(x). Como ∂F/∂y(x,f(x))≠0, podemos dividir a equação acima por esse termo, obtendo: