A função y=f(x) é definida implicitamente
pela equação F(x, y)=0 se para todo x in Dom f temos F(x, f(x))=0. Mostre que se f e F são diferenciáveis, então:
d yd x=-partial F / partial xpartial F / partial y se partial Fpartial y neq 0

Passo 1

A questão diz que temos uma função definida implicitamente por F(x,y)=0, e queremos encontrar a derivada dy/dx de y=f(x). O conteúdo envolve derivadas parciais e a regra da cadeia para funções compostas, e vamos precisar que F e f sejam diferenciáveis e que ∂F/∂y≠0.

Passo 2

Como F(x,f(x))≡0 para todo x em Dom
, podemos diferenciar ambos os lados em relação a x. Isso vale porque F e f são diferenciáveis, permitindo aplicar a regra da cadeia.

Passo 3

Pela regra da cadeia, a derivada total de F(x,f(x)) em relação a x é dada por:
ddxF(x,f(x))=partial Fpartial x(x,f(x))+partial Fpartial y(x,f(x))cdot f'(x)=0

Passo 4

Agora isolamos f’(x). Como ∂F/∂y(x,f(x))≠0, podemos dividir a equação acima por esse termo, obtendo:
f'(x)=dydx=-partial Fpartial x(x,f(x))partial Fpartial y(x,f(x))

Resposta

dydx=-partial F/partial xpartial F/partial y

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