Ache uma expressão para uma força central (centro na origem
) que tenha como órbita uma elipse com o centro também sendo
. Note a diferença deste caso para o caso clássico da gravitação de Newton, em que o centro está em um dos focos da elipse.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos uma expressão para uma força central que tem como órbita uma elipse centrada na origem
. Isso significa que a força sempre aponta para o centro e o caminho seguido pelo objeto é uma elipse com o centro no ponto
. Além disso, diferencia-se desse caso clássico da gravitação de Newton, onde a força central faz com que a órbita seja uma elipse com o centro da força em um dos focos da elipse. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica clássica e aplicar as leis de movimento em forças centrais.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que uma força central é aquela que depende apenas da distância até o centro e sempre aponta para ele. A forma geral dessa força pode ser escrita como:
onde
é uma função que depende da distância
e
é o vetor unitário que aponta na direção radial.
Passo 3
Sabemos que para uma órbita elíptica centrada na origem, o movimento pode ser descrito pelas equações paramétricas de uma elipse:
onde
e
são os semi-eixos da elipse, e
é o ângulo que o vetor posição faz com o eixo
em função do tempo.
Passo 4
Para encontrar a força que gera essa órbita, precisamos relacionar a aceleração do objeto com a força central. Pela segunda lei de Newton:
onde
é a massa do objeto e
é a aceleração.
Passo 5
Vamos calcular a aceleração em coordenadas polares, já que estamos lidando com uma força central. Em coordenadas polares
, a aceleração tem componentes radial e angular:
Como a força é central, a componente angular da aceleração deve ser zero:
Isso implica que o momento angular é conservado.
Passo 6
Assumindo que a órbita é uma elipse centrada na origem, temos que o vetor posição pode ser expresso como:
A distância
em coordenadas polares é:
Passo 7
Para simplificar, vamos considerar que a órbita está no plano e usar a relação entre
e
. Podemos reescrever a equação da elipse em coordenadas polares com o centro na origem:
Passo 8
Agora, precisamos encontrar a expressão para a força
que causa essa trajetória. Usando a segunda lei de Newton em coordenadas polares, temos:
Vamos precisar calcular
e
para a trajetória dada.
Passo 9
Calculando as derivadas em relação ao tempo para
e
é bem trabalhoso, mas uma abordagem mais simples é usar o fato de que a força deve fornecer a centrípeta necessária para manter a órbita elíptica com o centro na origem.
Assumindo que a órbita é estável, podemos usar a relação entre força e potencial. Se a força é derivada de um potencial
, temos:
Passo 10
Para uma órbita elíptica centralizada, a força que preserva essa forma é semelhante à força de um oscilador harmônico. A força central para uma elipse centrada na origem pode ser expressa como:
onde
é uma constante que depende dos parâmetros da elipse.
Passo 11
Comparando com a força de um oscilador harmônico, vemos que a força é proporcional à distância
e aponta para o centro, garantindo que a órbita permaneça elíptica e centrada na origem.
Passo 12
Portanto, a expressão para a força central que gera uma órbita elíptica centrada na origem é:
onde
é uma constante positiva que determina a “rigidez” da força central.
Resposta
A força central que gera uma órbita elíptica com o centro na origem é dada por:
onde
é uma constante positiva e
é o vetor unitário radial.