Ache uma expressão para uma força central (centro na origem (0,0) ) que tenha como órbita uma elipse com o centro também sendo (0,0). Note a diferença deste caso para o caso clássico da gravitação de Newton, em que o centro está em um dos focos da elipse.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos uma expressão para uma força central que tem como órbita uma elipse centrada na origem (0,0). Isso significa que a força sempre aponta para o centro e o caminho seguido pelo objeto é uma elipse com o centro no ponto (0,0). Além disso, diferencia-se desse caso clássico da gravitação de Newton, onde a força central faz com que a órbita seja uma elipse com o centro da força em um dos focos da elipse. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica clássica e aplicar as leis de movimento em forças centrais.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que uma força central é aquela que depende apenas da distância até o centro e sempre aponta para ele. A forma geral dessa força pode ser escrita como:
F = f(r) , r
onde f(r) é uma função que depende da distância r e r é o vetor unitário que aponta na direção radial.

Passo 3

Sabemos que para uma órbita elíptica centrada na origem, o movimento pode ser descrito pelas equações paramétricas de uma elipse:
x(t) = a cos(theta(t))
y(t) = b sin(theta(t))
onde a e b são os semi-eixos da elipse, e theta(t) é o ângulo que o vetor posição faz com o eixo x em função do tempo.

Passo 4

Para encontrar a força que gera essa órbita, precisamos relacionar a aceleração do objeto com a força central. Pela segunda lei de Newton:
F = m a
onde m é a massa do objeto e a é a aceleração.

Passo 5

Vamos calcular a aceleração em coordenadas polares, já que estamos lidando com uma força central. Em coordenadas polares (r, theta), a aceleração tem componentes radial e angular:
a = (ddotr - r dottheta^2) r + (r ddottheta + 2 dotr dottheta) theta
Como a força é central, a componente angular da aceleração deve ser zero:
r ddottheta + 2 dotr dottheta = 0
Isso implica que o momento angular é conservado.

Passo 6

Assumindo que a órbita é uma elipse centrada na origem, temos que o vetor posição pode ser expresso como:
r = a cos(theta) x + b sin(theta) y
A distância r em coordenadas polares é:
r(theta) = raiza^2 cos^2(theta) + b^2 sin^2(theta)

Passo 7

Para simplificar, vamos considerar que a órbita está no plano e usar a relação entre theta e r. Podemos reescrever a equação da elipse em coordenadas polares com o centro na origem:
r(theta)1 = abraizb^2 cos^2(theta) + a^2 sin^2(theta)

Passo 8

Agora, precisamos encontrar a expressão para a força f(r) que causa essa trajetória. Usando a segunda lei de Newton em coordenadas polares, temos:
f(r) = m (ddotr - r dottheta^2)
Vamos precisar calcular ddotr e dottheta para a trajetória dada.

Passo 9

Calculando as derivadas em relação ao tempo para r(theta) e theta(t) é bem trabalhoso, mas uma abordagem mais simples é usar o fato de que a força deve fornecer a centrípeta necessária para manter a órbita elíptica com o centro na origem.
Assumindo que a órbita é estável, podemos usar a relação entre força e potencial. Se a força é derivada de um potencial V(r), temos:
f(r) = -dVdr

Passo 10

Para uma órbita elíptica centralizada, a força que preserva essa forma é semelhante à força de um oscilador harmônico. A força central para uma elipse centrada na origem pode ser expressa como:
f(r) = -k r
onde k é uma constante que depende dos parâmetros da elipse.

Passo 11

Comparando com a força de um oscilador harmônico, vemos que a força é proporcional à distância r e aponta para o centro, garantindo que a órbita permaneça elíptica e centrada na origem.

Passo 12

Portanto, a expressão para a força central que gera uma órbita elíptica centrada na origem é:
F(r) = -k , r , r
onde k é uma constante positiva que determina a “rigidez” da força central.

Resposta

A força central que gera uma órbita elíptica com o centro na origem é dada por:
F(r) = -k , r , r
onde k é uma constante positiva e r é o vetor unitário radial.

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