Considere um campo vetorial em .
Se é a circunferência de equação orientada no sentido anti-horário, mostre que a integral de linha do campo ao longo de é .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral de linha do campo vetorial ao longo da circunferência definida por , que está orientada anti-horariamente. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pela curva. Precisamos entender como aplicar esse teorema e calcular as integrais necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir o campo vetorial em duas partes para facilitar os cálculos:
Isso significa que vamos calcular a integral de linha de F1 e de F2 separadamente ao longo de C1 e depois somar os resultados.
Passo 3
Vamos calcular a integral de linha da primeira parte, F1 = (-yx^2+y^2, xx^2+y^2).
Observamos que F1 é um campo vetorial que representa uma rotação ao redor da origem. A integral de linha dessa parte sobre uma curva fechada que envolve a origem é conhecida e vale 2pi. Isso ocorre porque F1 está relacionado ao campo conservativo que gera uma circulação constante ao redor do ponto central.
Portanto:
ointC1 F1 cdot dr = 2pi
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral de linha da segunda parte, F2 = (0, x). Para isso, usamos o Teorema de Green, que nos permite transformar a integral de linha em uma integral dupla sobre a região interior à curva C1.
De acordo com o Teorema de Green:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
No nosso caso, P = 0 e Q = x. Vamos calcular os derivados parciais:
partial Qpartial x = partial xpartial x = 1
partial Ppartial y = partial 0partial y = 0
Portanto, a expressão dentro da integral dupla fica:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 1 - 0 = 1
Agora, a integral dupla sobre a região D (interno à circunferência de raio 2) será:
integral duplaD 1 , dA
Isso corresponde à área da região D. Como D é um círculo de raio 2, a área é:
Área = pi times (2)^2 = 4pi Á
Portanto:
ointC1 F2 cdot dr = 4pi
Passo 5
Finalmente, somamos as integrais das duas partes para obter a integral de linha total do campo F ao longo de C1:
ointC1 F cdot dr = ointC1 F1 cdot dr + ointC1 F2 cdot dr = 2pi + 4pi = 6pi
Resposta
A integral de linha do campo F ao longo de C1 é 6pi.