Ache as extensões pares e periódicas de período T de cada uma das funções dadas e discuta suas propriedades de continuidade e diferenciabilidade:
f(x)=cos (x) se x in[0, pi], T=pi;

Passo 1

Ok, vamos lá! A questão pede para encontrar as extensões pares e periódicas de período T = pi da função f(x) = cos(x) definida no intervalo [0, pi]. Além disso, precisamos discutir se essas extensões são contínuas e diferenciáveis. Para isso, vamos usar conceitos de funções pares, extensão periódica e propriedades de continuidade e diferenciabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma extensão par. Uma função par é simétrica em relação ao eixo y, ou seja, f(-x) = f(x). Para estender f(x) = cos(x) de [0, pi] para todo o eixo real de forma par, precisamos definir f(-x) = f(x) para x in [0, pi].

Passo 3

Então, a extensão par de [f(x) = \cos(x)) no intervalo fica assim:
Ou seja, a função continua sendo cosseno em todo o intervalo ([-\pi, \pi]].

Passo 4

Agora, vamos fazer a extensão periódica de período T = pi. Uma função periódica repete seus valores a cada intervalo de comprimento T. Então, para estender f(x) periodicamente, definimos:
fper(x + npi) = fper(x) para todo n in Z
Isso significa que a função vai se repetir a cada pi unidades ao longo do eixo x.

Passo 5

Combinando a extensão par e a extensão periódica, temos que a função estendida será par e periódica de período pi. Então, a função final é:
fext(x) = cos(x) para todo x in R,
já que o cosseno é naturalmente uma função par e periódica com período 2pi. Porém, ajustando para período pi, nossa função se repete a cada pi unidades.

Passo 6

Agora, vamos discutir a continuidade e diferenciabilidade dessa função estendida. A função cosseno é conhecida por ser contínua e diferenciável em todo o seu domínio. Como estendemos de forma par e periódica sem introduzir pontos de descontinuidade ou cantos, a função estendida fext(x) também será contínua e diferenciável para todo x in R.

Resposta

A extensão par e periódica de período T = pi da função f(x) = cos(x) definida em [0, pi] é fext(x) = cos(x) para todo x in R. Essa função estendida é contínua e diferenciável em todo o seu domínio.

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