Ache as extensões pares e periódicas de período
de cada uma das funções dadas e discuta suas propriedades de continuidade e diferenciabilidade:
se
;
Passo 1
Ok, vamos lá! A questão pede para encontrar as extensões pares e periódicas de período
da função
definida no intervalo
. Além disso, precisamos discutir se essas extensões são contínuas e diferenciáveis. Para isso, vamos usar conceitos de funções pares, extensão periódica e propriedades de continuidade e diferenciabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma extensão par. Uma função par é simétrica em relação ao eixo y, ou seja,
. Para estender
de
para todo o eixo real de forma par, precisamos definir
para
.
Passo 3
Então, a extensão par de [f(x) = \cos(x)) no intervalo
fica assim:
Ou seja, a função continua sendo cosseno em todo o intervalo ([-\pi, \pi]].
Passo 4
Agora, vamos fazer a extensão periódica de período
. Uma função periódica repete seus valores a cada intervalo de comprimento
. Então, para estender
periodicamente, definimos:
Isso significa que a função vai se repetir a cada
unidades ao longo do eixo x.
Passo 5
Combinando a extensão par e a extensão periódica, temos que a função estendida será par e periódica de período
. Então, a função final é:
já que o cosseno é naturalmente uma função par e periódica com período
. Porém, ajustando para período
, nossa função se repete a cada
unidades.
Passo 6
Agora, vamos discutir a continuidade e diferenciabilidade dessa função estendida. A função cosseno é conhecida por ser contínua e diferenciável em todo o seu domínio. Como estendemos de forma par e periódica sem introduzir pontos de descontinuidade ou cantos, a função estendida
também será contínua e diferenciável para todo
.
Resposta
A extensão par e periódica de período
da função
definida em
é
para todo
. Essa função estendida é contínua e diferenciável em todo o seu domínio.