Defina uma função periódica de período 2 e igual a
no intervalo
. Há mais de uma resposta? E se a função pedida fosse igual a
no intervalo
?
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para definir uma função periódica com período 2 que seja igual a
no intervalo
. Além disso, pergunta se há mais de uma solução e o que acontece se considerarmos o intervalo
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função periódica e como estender
para todo o domínio usando essa periodicidade.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma função periódica. Uma função
é periódica de período
se
para todo
. No nosso caso, o período é 2, então queremos que
.
Passo 3
Sabendo disso, nossa função deve ser igual a
no intervalo
. Para torná-la periódica, vamos fazer com que essa forma se repita a cada intervalo de comprimento 2. Ou seja, para todo
inteiro, em
, a função será equivalente a
.
Passo 4
Então, podemos escrever a função periódica
da seguinte forma:
Isso significa que, em cada intervalo de 2 unidades, a função repete a forma de
.
Passo 5
Agora, vamos considerar a parte da questão que pergunta se há mais de uma resposta. De fato, há mais de uma maneira de definir essa função periódica. Por exemplo, podemos escolher diferentes pontos de partida para o período ou ajustar a função em pontos específicos para garantir continuidade, dependendo das condições adicionais que desejarmos impor.
Passo 6
Por fim, vamos analisar o segundo caso: se a função for igual a
no intervalo
. A diferença aqui é que incluímos o ponto
e excluímos
. Isso pode afetar a definição da função nos pontos de transição entre os períodos. Porém, a ideia básica de estender a função
periodicamente permanece a mesma.
Resposta
Sim, existe mais de uma maneira de definir uma função periódica de período 2 que seja igual a
no intervalo
. E o mesmo vale se considerarmos a função igual a
no intervalo
, embora a definição precisa possa variar ligeiramente nos pontos de transição.