Ache as extensões pares e periódicas de período T de cada uma das funções dadas e discuta suas propriedades de continuidade e diferenciabilidade:
f(x)=x(x-1) se x in[0,1], T=2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as extensões pares e periódicas de período T = 2 para a função f(x) = x(x - 1) definida no intervalo [0, 1]. Além disso, vamos discutir se essas extensões são contínuas e diferenciáveis. Para isso, vamos usar conceitos de funções pares e funções periódicas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma extensão par. Uma função é par se ela é simétrica em relação ao eixo y, ou seja, se f(-x) = f(x) para todo x . Para estender f(x) = x(x - 1) para todo o eixo, mantendo essa simetria, precisamos definir f(-x) = f(x) .
Então, para x in [-1, 0] :
f(-x) = (-x)((-x) - 1) = (-x)(-x - 1) = x(x + 1)
Assim, a extensão par fpar(x) fica:
fpar(x) = x(x - 1) & se x in [0, 1] x(x + 1) & se x in [-1, 0]

Passo 3

Agora, vamos tornar essa função periódica com período [T = 2). Isso significa que a função se repete a cada intervalo de comprimento 2. Para fazer isso, usamos a propriedade:
Como , a função se repete a cada 2 unidades. Então, podemos definir a extensão periódica combinando as extensões pares em cada intervalo de comprimento 2.
Portanto, a extensão periódica é dada por:
Isso significa que, para qualquer intervalo de (2] unidades, a função se repete de forma par.

Passo 4

Vamos verificar as propriedades de continuidade e diferenciabilidade da nossa extensão periódica.
  • Continuidade: A função original é um polinômio, então é contínua no intervalo e, pela extensão par, também em . Como a função se repete a cada , não há quebras ou saltos, então a função periódica é contínua em todo o domínio.
  • Diferenciabilidade: Como os polinômios são diferenciáveis, a função também é diferenciável em todo ponto onde ela se repete suavemente. Contudo, precisamos verificar nos pontos onde ocorre a transição entre os intervalos, ou seja, nos pontos e . Calculando as derivadas à esquerda e à direita nesses pontos:
    • Em :
Como as derivadas são diferentes, a função não é diferenciável em \(x = 1\).
  • O mesmo ocorre em .
Portanto, a extensão periódica é contínua em todo lugar, mas não é diferenciável nos pontos e (e todos os pontos equivalentes a , onde é inteiro).

Resposta

A extensão par e periódica de período [T = 2) da função é dada por:
Essa função é contínua em todo o domínio, mas não é diferenciável nos pontos onde , para todo inteiro .

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