Ache as extensões pares e periódicas de período de cada uma das funções dadas e discuta suas propriedades de continuidade e diferenciabilidade: se .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as extensões pares e periódicas de período para a função definida no intervalo . Além disso, vamos discutir se essas extensões são contínuas e diferenciáveis. Para isso, vamos usar conceitos de funções pares e funções periódicas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma extensão par. Uma função é par se ela é simétrica em relação ao eixo y, ou seja, se para todo . Para estender para todo o eixo, mantendo essa simetria, precisamos definir .
Então, para :
Assim, a extensão par fica:
Passo 3
Agora, vamos tornar essa função periódica com período [T = 2). Isso significa que a função se repete a cada intervalo de comprimento 2. Para fazer isso, usamos a propriedade:
Como , a função se repete a cada 2 unidades. Então, podemos definir a extensão periódica combinando as extensões pares em cada intervalo de comprimento 2.
Portanto, a extensão periódica é dada por:
Isso significa que, para qualquer intervalo de (2] unidades, a função se repete de forma par.
Passo 4
Vamos verificar as propriedades de continuidade e diferenciabilidade da nossa extensão periódica.
Continuidade: A função original é um polinômio, então é contínua no intervalo e, pela extensão par, também em . Como a função se repete a cada , não há quebras ou saltos, então a função periódica é contínua em todo o domínio.
Diferenciabilidade: Como os polinômios são diferenciáveis, a função também é diferenciável em todo ponto onde ela se repete suavemente. Contudo, precisamos verificar nos pontos onde ocorre a transição entre os intervalos, ou seja, nos pontos e . Calculando as derivadas à esquerda e à direita nesses pontos:
Em :
Como as derivadas são diferentes, a função não é diferenciável em \(x = 1\).
O mesmo ocorre em .
Portanto, a extensão periódica é contínua em todo lugar, mas não é diferenciável nos pontos e (e todos os pontos equivalentes a , onde é inteiro).
Resposta
A extensão par e periódica de período [T = 2) da função é dada por:
Essa função é contínua em todo o domínio, mas não é diferenciável nos pontos onde , para todo inteiro .