Ache as extensões pares e periódicas de período T de cada uma das funções dadas e discuta suas propriedades de continuidade e diferenciabilidade. Em seguida, determine a série de Fourier da função dada.
f(x)=x^2 se x in[0, pi], T=2 pi;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as extensões pares e periódicas de período T=2pi da função f(x) = x^2 definida no intervalo [0, pi]. Além disso, precisamos discutir as propriedades de continuidade e diferenciabilidade dessas extensões e, por fim, determinar a série de Fourier da função dada. Vamos usar conceitos de análise de funções periódicas e série de Fourier para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma extensão par de uma função. Uma extensão par de f(x) é uma função que é simétrica em relação ao eixo y, ou seja, f(-x) = f(x). Como nosso intervalo original é [0, pi], vamos estender a função para [-pi, pi] de forma que fique par.

Passo 3

Vamos definir a função estendida [f_{par}(x)) da seguinte maneira:
Assim, garantimos que (f_{par}(-x) = f_{par}(x)], tornando a função par.

Passo 4

Agora, queremos que essa função seja periódica com período T=2pi. Isso significa que a função se repete a cada intervalo de 2pi. Portanto, estenderemos fpar(x) para todo o eixo real usando a periodicidade:
f(x + 2pi) = f(x)
para todo x in R.

Passo 5

Vamos analisar as propriedades de continuidade da função estendida. A função x^2 é contínua em todo o seu domínio. Como estendemos a função de forma par e periódica sem introduzir quebras, a função resultante também será contínua em todos os pontos.

Passo 6

Em relação à diferenciabilidade, a função x^2 é diferenciável em todo o seu domínio. No entanto, na junção dos intervalos -pi e pi, precisamos verificar se a derivada existe. Calculando as derivadas à direita e à esquerda nesses pontos:
f'(pi^-) = 2pi f'(-pi^+) = -2pi
Como f'(pi^-) neq f'(-pi^+), há um ponto de descontinuidade na derivada, ou seja, a função não é diferenciável nesses pontos.

Passo 7

Agora, vamos determinar a série de Fourier da função f(x) = x^2 no intervalo [-pi, pi]. Como a função é par, a série de Fourier conterá apenas termos de cosseno (série de Fourier par):
f(x) = a02 + sumn=1^infty an cos(nx)
Onde os coeficientes são dados por:
a0 = 1pi integral-pi^pi x^2 , dx an = 1pi integral-pi^pi x^2 cos(nx) , dx

Passo 8

Calculando a0:
a0 = 1pi integral-pi^pi x^2 , dx = 2pi integral0^pi x^2 , dx = 2pi [ x^33 ]0^pi = 2pi cdot pi^33 = 2pi^23

Passo 9

Calculando an:
an = 2pi integral0^pi x^2 cos(nx) , dx
Essa integral pode ser resolvida por partes duas vezes. O resultado é:
an = 4(-1)^nn^2

Resposta

A extensão par e periódica de período 2pi da função f(x) = x^2 definida em [0, pi] é contínua em todos os pontos, exceto na junção x = pi e x = -pi, onde não é diferenciável. A série de Fourier da função é dada por:
f(x) = pi^23 + 4 sumn=1^infty (-1)^nn^2 cos(nx)

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