Ache as extensões pares e periódicas de período
de cada uma das funções dadas e discuta suas propriedades de continuidade e diferenciabilidade. Em seguida, determine a série de Fourier da função dada.
se
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as extensões pares e periódicas de período
da função
definida no intervalo
. Além disso, precisamos discutir as propriedades de continuidade e diferenciabilidade dessas extensões e, por fim, determinar a série de Fourier da função dada. Vamos usar conceitos de análise de funções periódicas e série de Fourier para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma extensão par de uma função. Uma extensão par de
é uma função que é simétrica em relação ao eixo y, ou seja,
. Como nosso intervalo original é
, vamos estender a função para
de forma que fique par.
Passo 3
Vamos definir a função estendida [f_{par}(x)) da seguinte maneira:
Assim, garantimos que (f_{par}(-x) = f_{par}(x)], tornando a função par.
Passo 4
Agora, queremos que essa função seja periódica com período
. Isso significa que a função se repete a cada intervalo de
. Portanto, estenderemos
para todo o eixo real usando a periodicidade:
para todo
.
Passo 5
Vamos analisar as propriedades de continuidade da função estendida. A função
é contínua em todo o seu domínio. Como estendemos a função de forma par e periódica sem introduzir quebras, a função resultante também será contínua em todos os pontos.
Passo 6
Em relação à diferenciabilidade, a função
é diferenciável em todo o seu domínio. No entanto, na junção dos intervalos
e
, precisamos verificar se a derivada existe. Calculando as derivadas à direita e à esquerda nesses pontos:
Como
, há um ponto de descontinuidade na derivada, ou seja, a função não é diferenciável nesses pontos.
Passo 7
Agora, vamos determinar a série de Fourier da função
no intervalo
. Como a função é par, a série de Fourier conterá apenas termos de cosseno (série de Fourier par):
Onde os coeficientes são dados por:
Passo 8
Calculando
:
Passo 9
Calculando
:
Essa integral pode ser resolvida por partes duas vezes. O resultado é:
Resposta
A extensão par e periódica de período
da função
definida em
é contínua em todos os pontos, exceto na junção
e
, onde não é diferenciável. A série de Fourier da função é dada por: