Seja
uma função real integrável e
dada por
Use uma mudança de variável para mostrar que:
(a) Se
for uma função par, então
é uma função ímpar;
(b) Se
for uma função ímpar, então
é uma função par.
(a) Se
(b) Se
Passo 1
O enunciado define a primitiva
e pede para relacionar a paridade de
com a de
. Vamos usar a mudança de variável
ao calcular
.
Passo 2
Suponha que
seja par, isto é,
Na integral
faça
, de modo que
, e os limites vão de
até
corresponderão a
até
. Logo,
Como
, temos
ou seja,
é ímpar.
Passo 3
Suponha que
seja ímpar, isto é,
Repetindo o mesmo cálculo:
logo
é par.
Resposta
(a) Se
é par, então
é ímpar, pois
.
(b) Se é ímpar, então
é par, pois
.
(b) Se