Seja f:[-L, L] uma função real integrável e F(x) dada por
F(x)=integral0^x f(u) d u
Use uma mudança de variável para mostrar que:
(a) Se f(x) for uma função par, então F(x) é uma função ímpar;
(b) Se f(x) for uma função ímpar, então F(x) é uma função par.

Passo 1

O enunciado define a primitiva
F(x)=integral0^xf(u),du
e pede para relacionar a paridade de f com a de F. Vamos usar a mudança de variável
u=-t
ao calcular F(-x)=integral0^-xf(u),du.

Passo 2

Suponha que f seja par, isto é,
f(-t)=f(t)forall t
Na integral
F(-x)=integral0^-xf(u),du
faça u=-t, de modo que du=-dt, e os limites vão de u=0 até u=-x corresponderão a t=0 até t=x. Logo,
F(-x) =integral0^-xf(u),du =integral0^xf(-t),(-dt) =-integral0^xf(-t),dt
Como f(-t)=f(t), temos
F(-x)=-integral0^xf(t),dt=-F(x),
ou seja, F é ímpar.

Passo 3

Suponha que f seja ímpar, isto é,
f(-t)=-f(t)forall t
Repetindo o mesmo cálculo:
F(-x) =-integral0^xf(-t),dt =-integral0^xl(-f(t)r),dt =integral0^xf(t),dt =F(x),
logo F é par.

Resposta

(a) Se f é par, então F é ímpar, pois F(-x)=-F(x).
(b) Se f é ímpar, então F é par, pois F(-x)=F(x).

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