Ache as extensões pares e periódicas de período T de cada uma das funções dadas e discuta suas propriedades de continuidade e diferenciabilidade. Em seguida, determine a série de Fourier da função dada.
f(x)=x(x-1) se x in[0,1], T=2.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x(x-1)para xin[0,1]
e pede a extensão periódica de período T=2 que seja par (isto é, f(-x)=f(x)), discutir continuidade e diferenciabilidade dessa extensão e, por fim, determinar sua série de Fourier. Vamos precisar de:
  1. Construir a extensão par em [-1,1] e então estender com período 2.
  2. Verificar continuidade e diferenciabilidade nos pontos de quebra.
  3. Usar a fórmula da série de Fourier para funções pares de período 2L com L=1.

Passo 2

Construção da extensão par e periódica com T=2:
1. Em [0,1] mantemos f(x)=x(x-1).
2. Como queremos f(-x)=f(x), para xin[-1,0] definimos
f(x)=f(-x)=(-x)l((-x)-1r)=x(x+1)
3. Finalmente, repetimos esse perfil em cada intervalo de comprimento 2:
f(x+2k)=f(x), kinZ

Passo 3

Continuidade e diferenciabilidade:
  • Em cada intervalo interior a [-1,0), (0,1) e (1,2) a função é polinomial, logo é C^infty.
  • Em x=0 a função é contínua pois
    f(0^-)=0cdot(0+1)=0 e f(0^+)=0cdot(0-1)=0.
    Mas a derivada à direita vale f'(0^+)=2cdot0-1=-1 e à esquerda vale f'(0^-)=2cdot0+1=1, logo não é diferenciável em 0.
  • Em x=1 (e por periodicidade em x=2kpm1) há salto:
    f(1^-)=1cdot0=0 mas f(1^+)=f(-1)=(-1)(-2)=2. Logo descontinuidade e, portanto, não diferenciável em x=1+2k.

Passo 4

Fórmula da série de Fourier para função par de período 2L com L=1:
f(x)=a02+sumn=1^infty ancosl(npi x/Lr) =a02+sumn=1^infty ancos(npi x),
onde, para função par,
a0=integral-1^1f(x),dx =2integral0^1f(x),dx, an=11integral-1^1f(x)cos(npi x),dx =2integral0^1f(x)cos(npi x),dx

Passo 5

Cálculo de a0:
a0=2integral0^1l(x^2-xr),dx =2l[tfracx^33-tfracx^22r]0^1 =2l(tfrac13-tfrac12r) =-tfrac13,
logo a02=-tfrac16.

Passo 6

Cálculo de an para n>=1:
an =2integral0^1l(x^2-xr)cos(npi x),dx =2l(In-Jnr),
com
In=integral0^1x^2cos(npi x),dx, Jn=integral0^1xcos(npi x),dx
Usando integração por partes, obtém-se
In=2(-1)^nn^2pi^2, Jn=(-1)^n-1n^2pi^2
Logo
In-Jn =2(-1)^nn^2pi^2 -(-1)^n-1n^2pi^2 =(-1)^n+1n^2pi^2,
e então
an =2cdot(-1)^n+1n^2pi^2 =2l((-1)^n+1r)n^2pi^2

Passo 7

Observando que (-1)^n+1=0 para n ímpar e =2 para n=2m, concluímos
a2m=4(2m)^2pi^2=1m^2pi^2, a2m-1=0
Assim a série fica
f(x) =-tfrac16 +summ=1^infty1m^2pi^2cosl(2mpi xr)

Resposta

A extensão par e periódica (período
Ela é contínua em . Sua série de Fourier é

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