Ache as extensões pares e periódicas de período
de cada uma das funções dadas e discuta suas propriedades de continuidade e diferenciabilidade. Em seguida, determine a série de Fourier da função dada.
se
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a extensão periódica de período
que seja par (isto é,
), discutir continuidade e diferenciabilidade dessa extensão e, por fim, determinar sua série de Fourier. Vamos precisar de:
- Construir a extensão par em
e então estender com período . - Verificar continuidade e diferenciabilidade nos pontos de quebra.
- Usar a fórmula da série de Fourier para funções pares de período
com .
Passo 2
Construção da extensão par e periódica com
:
1. Em mantemos
.
2. Como queremos , para
definimos
1. Em
2. Como queremos
3. Finalmente, repetimos esse perfil em cada intervalo de comprimento
:
Passo 3
Continuidade e diferenciabilidade:
- Em cada intervalo interior a
, e a função é polinomial, logo é . - Em
a função é contínua pois
e .
Mas a derivada à direita valee à esquerda vale , logo não é diferenciável em . - Em
(e por periodicidade em ) há salto:
mas . Logo descontinuidade e, portanto, não diferenciável em .
Passo 4
Fórmula da série de Fourier para função par de período
com
:
onde, para função par,
Passo 5
Cálculo de
:
logo
.
Passo 6
Cálculo de
para
:
com
Usando integração por partes, obtém-se
Logo
e então
Passo 7
Observando que
para
ímpar e
para
, concluímos
Assim a série fica
Resposta
A extensão par e periódica (período
Ela é contínua em . Sua série de Fourier é