- São dados os valores de uma função
, de período
em um período completo. Esboce vários períodos de seu gráfico e encontre sua série de Fourier.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
definida no intervalo de
a
e queremos fazer duas coisas: desenhar vários períodos do gráfico dessa função e encontrar a sua série de Fourier. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries de Fourier, que são uma maneira de representar funções periódicas como a soma de senos e cossenos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a função
se comporta. Sabemos que o cosseno ao quadrado pode ser transformado usando uma identidade trigonométrica. A identidade é:
Essa transformação vai facilitar bastante quando formos calcular a série de Fourier, porque ela já está escrita como uma soma de termos de frequência múltiplas.
Passo 3
Agora, vamos esboçar o gráfico de
. Sabemos que a função
oscila entre -1 e 1, então
vai oscilar entre 0 e 1. Além disso, a função
tem um período igual a
porque
tem o dobro da frequência de
. Assim, ao esboçar o gráfico, veremos um padrão que se repete a cada
unidades de
.
Passo 4
Agora vamos encontrar a série de Fourier de
. Como a função já está expressa em termos de cosseno, podemos usar a identidade que mencionamos:
Isso significa que a série de Fourier de
é:
Resposta
A série de Fourier da função
é: