1. São dados os valores de uma função f(t)=cos ^2(t),-pi <= t <= pi, de período 2 pi em um período completo. Esboce vários períodos de seu gráfico e encontre sua série de Fourier.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função f(t) = cos^2(t) definida no intervalo de -pi a pi e queremos fazer duas coisas: desenhar vários períodos do gráfico dessa função e encontrar a sua série de Fourier. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries de Fourier, que são uma maneira de representar funções periódicas como a soma de senos e cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a função cos^2(t) se comporta. Sabemos que o cosseno ao quadrado pode ser transformado usando uma identidade trigonométrica. A identidade é:
cos^2(t) = 1 + cos(2t)2
Essa transformação vai facilitar bastante quando formos calcular a série de Fourier, porque ela já está escrita como uma soma de termos de frequência múltiplas.

Passo 3

Agora, vamos esboçar o gráfico de f(t) = cos^2(t) . Sabemos que a função cos(t) oscila entre -1 e 1, então cos^2(t) vai oscilar entre 0 e 1. Além disso, a função cos^2(t) tem um período igual a pi porque cos(2t) tem o dobro da frequência de cos(t) . Assim, ao esboçar o gráfico, veremos um padrão que se repete a cada pi unidades de t .

Passo 4

Agora vamos encontrar a série de Fourier de f(t) = cos^2(t) . Como a função já está expressa em termos de cosseno, podemos usar a identidade que mencionamos:
f(t) = 12 + 12cos(2t)
Isso significa que a série de Fourier de f(t) = cos^2(t) é:
f(t) = 12 + 12cos(2t)

Resposta

A série de Fourier da função f(t) = cos^2(t) é:
f(t) = 12 + 12cos(2t)

Exercícios relacionados