Ache as extensões pares e periódicas de período
de cada uma das funções dadas e discuta suas propriedades de continuidade e diferenciabilidade. Em seguida, determine a série de Fourier da função dada.
(a)
se
;
(b)
se
.
5. (i) Para cada uma das funções do exercício 4 determine, quando possível, uma extensão ímpar e periódica de periodo
e discuta suas propriedades de continuidade e diferenciabilidade.
(ii) Quando não for possível achar a extensão do item anterior, redefina a função nos extremos dos intervalos de modo a tomar possível tal extensão e encontre-a. Em seguida, determine a série de Fourier da função dada.
(a)
(b)
5. (i) Para cada uma das funções do exercício 4 determine, quando possível, uma extensão ímpar e periódica de periodo
(ii) Quando não for possível achar a extensão do item anterior, redefina a função nos extremos dos intervalos de modo a tomar possível tal extensão e encontre-a. Em seguida, determine a série de Fourier da função dada.
Passo 1
O enunciado pede, para cada função dada em um intervalo de meia-onda, que a gente (i) construa a extensão par periódica de período
, discuta onde ela é contínua e onde é diferenciável, e depois determine sua série de Fourier (a série de cossenos); em seguida, no exercício 5, (ii) faça a extensão ímpar periódica (ou, quando não for possível sem descontinuidade, redefina os valores nos extremos para tornar possível essa extensão), discuta continuidade e diferenciabilidade e ache a série de Fourier (a série de senos).
Conteúdo principal: extensões pares/ímpares, séries trigonométricas, regras de integração por partes para calcular coeficientes.
Conteúdo principal: extensões pares/ímpares, séries trigonométricas, regras de integração por partes para calcular coeficientes.
Passo 2
Função (a)
e
é contínua em todo
.
Diferenciabilidade: em é
. Nos pontos
(e
) há salto na derivada:
Diferenciabilidade: em
logo não é diferenciável aí.
Passo 3
Série de Fourier em cossenos (coeficientes
) para
em
:
Logo
Passo 4
Agora queremos extensão ímpar de
. Num
ímpar e periódico teríamos
, e em particular
. Mas o dado
impede a continuidade dessa extensão.
5(ii): redefinimos (e
) para forçar
ímpar e periódico. A nova função é descontínua em
(pulo de
), e sua derivada também sofre salto ali.
5(ii): redefinimos
Passo 5
Série de Fourier em senos (coeficientes
) para a extensão ímpar ajustada:
Portanto
com
dado acima (observando que
anula termos pares, etc.).
Passo 6
Função (b)
e periódico de período
.
Diferenciabilidade: é em
, mas em
há salto na derivada (mesma análise dos sinais).
Diferenciabilidade: é
Passo 7
Série de Fourier em cossenos para
em
: deixa-se
e obtém-se
Então
Passo 8
Extensão ímpar de
periódico de período
, mas a derivada tem salto em
.
Passo 9
Série de Fourier em senos para
:
Como
é zero para
par e
para
ímpar, fica
Resposta
(a) Para
, período
:
– Extensão par e série em cossenos
– Extensão par e série em cossenos
– Extensão ímpar (com
) e série em senos
(b) Para
, período
:
– Extensão par e série em cossenos
– Extensão par e série em cossenos
– Extensão ímpar e série em senos