Ache as extensões pares e periódicas de período T de cada uma das funções dadas e discuta suas propriedades de continuidade e diferenciabilidade. Em seguida, determine a série de Fourier da função dada.
(a) f(x)=x^{2} se x \in[0, \pi], T=2 \pi;
(b) f(x)=x(x-1) se x \in[0,1], T=2.
5. (i) Para cada uma das funções do exercício 4 determine, quando possível, uma extensão ímpar e periódica de periodo T e discuta suas propriedades de continuidade e diferenciabilidade.
(ii) Quando não for possível achar a extensão do item anterior, redefina a função nos extremos dos intervalos de modo a tomar possível tal extensão e encontre-a. Em seguida, determine a série de Fourier da função dada.

Passo 1

O enunciado pede, para cada função dada em um intervalo de meia-onda, que a gente (i) construa a extensão par periódica de período T, discuta onde ela é contínua e onde é diferenciável, e depois determine sua série de Fourier (a série de cossenos); em seguida, no exercício 5, (ii) faça a extensão ímpar periódica (ou, quando não for possível sem descontinuidade, redefina os valores nos extremos para tornar possível essa extensão), discuta continuidade e diferenciabilidade e ache a série de Fourier (a série de senos).
Conteúdo principal: extensões pares/ímpares, séries trigonométricas, regras de integração por partes para calcular coeficientes.

Passo 2

Função (a) f(x)=x^2\) em \([0,\pi]\), \(T=2\pi\). Extensão par: \[f_{\rm par}(x)= \begin{cases} x^2,& x\in[0,\pi],\\\ (-x)^2 = x^2,& x\in[-\pi,0], \end{cases}
e f_{\rm par}(x+2\pi)=f_{\rm par}(x)\]. Continuidade: \(f_{\rm par} é contínua em todo \mathbb{R}.
Diferenciabilidade: em (-\,\pi,\pi) é C^\infty. Nos pontos x=\pi+2k\pi (e x=-\pi+2k\pi) há salto na derivada:
\lim_{x\to\pi^-}f'_{\rm par}(x)=2\pi,\quad \lim_{x\to\pi^+}f'_{\rm par}(x)=-2\pi,
logo não é diferenciável aí.

Passo 3

Série de Fourier em cossenos (coeficientes a_n) para f_{\rm par} em [-\,\pi,\pi]:
a_0 = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^2\,dx = \frac{2}{\pi}\,\frac{\pi^3}{3}=\frac{2\pi^2}{3},
a_n = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^2\cos(nx)\,dx = \frac{4(-1)^n}{n^2},\quad n\ge1.
Logo
x^2 \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(nx) = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}\,\cos(nx).

Passo 4

Agora queremos extensão ímpar de f(x)=x^2. Num [-\,\pi,\pi] ímpar e periódico teríamos f(-x)=-f(x), e em particular f(\pi)=-f(-\pi)=0. Mas o dado f(\pi)=\pi^2\neq0 impede a continuidade dessa extensão.
5(ii): redefinimos f(\pi)=0 (e f(-\pi)=0) para forçar f ímpar e periódico. A nova função é descontínua em x=\pm\pi (pulo de \pi^2\to0), e sua derivada também sofre salto ali.

Passo 5

Série de Fourier em senos (coeficientes b_n) para a extensão ímpar ajustada:
b_n = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^2\sin(nx)\,dx = -2\pi\,\frac{(-1)^n}{n} + \frac{4}{\pi}\,\frac{1-(-1)^n}{n^3}.
Portanto
x^2 \sim \sum_{n=1}^{\infty} b_n\sin(nx),
com b_n dado acima (observando que 1-(-1)^n anula termos pares, etc.).

Passo 6

Função (b) g(x)=x(x-1)\) em \([0,1]\), \(T=2\). Extensão par: \[g_{\rm par}(x)= \begin{cases} x(x-1),& x\in[0,1],\\\ (-x)(-x-1)=x(x+1),& x\in[-1,0], \end{cases}
e periódico de período 2\]. Continuidade: contínua em \(\mathbb{R}.
Diferenciabilidade: é C^\infty em (-1,1), mas em x=\pm1 há salto na derivada (mesma análise dos sinais).

Passo 7

Série de Fourier em cossenos para g_{\rm par} em [-1,1]: deixa-se k=n\pi e obtém-se
a_0 = \frac{2}{1}\int_{0}^{1}x(x-1)\,dx = -\frac13,
a_n = 2\int_{0}^{1}x(x-1)\cos(n\pi x)\,dx = \frac{2\bigl((-1)^n+1\bigr)}{n^2\pi^2} \;(n\ge1).
Então
x(x-1)\sim -\frac{1}{6} +\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2\bigl((-1)^n+1\bigr)}{n^2\pi^2}\cos(n\pi x).

Passo 8

Extensão ímpar de g(x)=x(x-1)\): aqui \(g(0)=0\) e \(g(1)=0\), então já é possível definir \[g_{\rm ímpar}(x)= \begin{cases} x(x-1),&x\in[0,1],\\\\ -(-x)(-x-1)=-x(x+1),&x\in[-1,0], \end{cases}
periódico de período 2\]. É contínuo em todo \(\mathbb{R}, mas a derivada tem salto em x=\pm1.

Passo 9

Série de Fourier em senos para g_{\rm ímpar}í:
b_n = 2\int_{0}^{1}x(x-1)\sin(n\pi x)\,dx = \frac{4\bigl((-1)^n-1\bigr)}{n^3\pi^3}.
Como (-1)^n-1 é zero para n par e -2 para n ímpar, fica
x(x-1)\sim \sum_{m=1}^{\infty}\Bigl[-\frac{8}{(2m-1)^3\pi^3}\Bigr]\, \sin\bigl((2m-1)\pi x\bigr).

Resposta

(a) Para f(x)=x^2, período 2\pi:
– Extensão par e série em cossenos
x^2=\frac{\pi^2}{3}+4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}\cos(nx).
– Extensão ímpar (com f(\pm\pi)=0) e série em senos
x^2=\sum_{n=1}^{\infty} \Bigl(-2\pi\,\frac{(-1)^n}{n}+\frac{4}{\pi}\,\frac{1-(-1)^n}{n^3}\Bigr) \sin(nx).
(b) Para g(x)=x(x-1), período 2:
– Extensão par e série em cossenos
x(x-1)=-\frac{1}{6} +\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2\bigl((-1)^n+1\bigr)}{n^2\pi^2}\cos(n\pi x).
– Extensão ímpar e série em senos
x(x-1) =\sum_{m=1}^{\infty}\Bigl[-\frac{8}{(2m-1)^3\pi^3}\Bigr] \sin\bigl((2m-1)\pi x\bigr).

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