- Pelo Exemplo 2 da Seção 8.2, a série de Fourier da função
de período 2 com
para
é
Mostre que a derivada termo a termo desta série não converge para
. Por que?
Passo 1
O enunciado nos dá a série de Fourier de período 2 da função
em
:
Queremos diferenciar termo a termo esta série e mostrar que o resultado não converge para
. O conteúdo usado será derivação de séries de Fourier e o critério de convergência (coeficientes tendendo a zero).
Passo 2
Derivando cada parte da série:
– A constante vira zero.
– Para o termo , temos
– A constante
– Para o termo
logo
– Para o termo
, temos
logo
Portanto, se diferenciássemos termo a termo, obteríamos a série formal
Passo 3
Para que uma série de funções do tipo
converja num dado
, é necessário (entre outras coisas) que os coeficientes
e
tendam a zero quando
.
Na série acima, o segundo somatório é
Na série acima, o segundo somatório é
cujo “coeficiente” junto a
é
, que não tende a zero. Em particular, em
temos
, e a soma
é divergente (soma de infinitos
). Logo a série diferenciada termo a termo não converge nem mesmo pontualmente em
.
Passo 4
Concluímos que a troca de soma por derivada falha porque a série resultante não satisfaz o critério mínimo de convergência (coeficientes tendendo a zero). Em consequência, a derivada termo a termo não converge para
. A razão fundamental é que a extensão periódica de
tem descontinuidade na derivada nos pontos de fronteira do período, impedindo a convergência da série derivada.
Resposta
A derivada termo a termo produz um somatório cujo coeficiente
ao lado de
não tende a zero, fazendo a série divergir (por exemplo em
). Portanto, essa série não converge para
.