1. Pelo Exemplo 2 da Seção 8.2, a série de Fourier da função f de período 2 com f(t)=t^{2} para 0<t<2 é
f(t)=\frac{4}{3}+\frac{4}{\pi^{2}} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos (n \pi t)}{n^{2}}-\frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sen}(n \pi t)}{n}
Mostre que a derivada termo a termo desta série não converge para f^{\prime}(t). Por que?

Passo 1

O enunciado nos dá a série de Fourier de período 2 da função f(t)=t^{2} em (0,2):
f(t)=\frac{4}{3} +\frac{4}{\pi^{2}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(n\pi t)}{n^{2}} -\frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(n\pi t)}{n}.
Queremos diferenciar termo a termo esta série e mostrar que o resultado não converge para f'(t). O conteúdo usado será derivação de séries de Fourier e o critério de convergência (coeficientes tendendo a zero).

Passo 2

Derivando cada parte da série:
– A constante \tfrac{4}{3} vira zero.
– Para o termo \displaystyle \frac{4}{\pi^{2}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(n\pi t)}{n^{2}}, temos
\frac{d}{dt}\Bigl[\cos(n\pi t)\Bigr] =-n\pi\,\sin(n\pi t),
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\frac{d}{dt}\Bigl[\frac{4}{\pi^{2}}\frac{\cos(n\pi t)}{n^{2}}\Bigr] =-\frac{4}{\pi^{2}}\;\frac{n\pi\,\sin(n\pi t)}{n^{2}} =-\frac{4}{\pi}\;\frac{\sin(n\pi t)}{n}.
– Para o termo \displaystyle -\frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(n\pi t)}{n}, temos
\frac{d}{dt}\Bigl[\sin(n\pi t)\Bigr] =n\pi\,\cos(n\pi t),
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\frac{d}{dt}\Bigl[-\frac{4}{\pi}\frac{\sin(n\pi t)}{n}\Bigr] =-\frac{4}{\pi}\;\frac{n\pi\,\cos(n\pi t)}{n} =-4\,\cos(n\pi t).
Portanto, se diferenciássemos termo a termo, obteríamos a série formal
f_{\rm deriv}(t) =-\frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(n\pi t)}{n} \;-\;4\sum_{n=1}^{\infty}\cos(n\pi t).

Passo 3

Para que uma série de funções do tipo \sum A_{n}\cos(n\pi t)+B_{n}\sin(n\pi t) converja num dado t, é necessário (entre outras coisas) que os coeficientes A_{n} e B_{n} tendam a zero quando n\to\infty.
Na série acima, o segundo somatório é
-4\sum_{n=1}^{\infty}\cos(n\pi t)
cujo “coeficiente” junto a \cos(n\pi t) é -4, que não tende a zero. Em particular, em t=0 temos \cos(n\pi\cdot0)=1, e a soma
-4\sum_{n=1}^{\infty}1
é divergente (soma de infinitos -4). Logo a série diferenciada termo a termo não converge nem mesmo pontualmente em t=0.

Passo 4

Concluímos que a troca de soma por derivada falha porque a série resultante não satisfaz o critério mínimo de convergência (coeficientes tendendo a zero). Em consequência, a derivada termo a termo não converge para f'(t)=2t. A razão fundamental é que a extensão periódica de f(t)=t^2 tem descontinuidade na derivada nos pontos de fronteira do período, impedindo a convergência da série derivada.

Resposta

A derivada termo a termo produz um somatório cujo coeficiente -4 ao lado de \cos(n\pi t) não tende a zero, fazendo a série divergir (por exemplo em t=0). Portanto, essa série não converge para f'(t).

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