2-3.0) Qual das alternativas abaixo é a solução particular do sistema v^{\prime}=\left[\begin{array}{cc}2 & -1 \\\\ 3 & -2\end{array}\right] v+\left[\begin{array}{c}8 \\\\ 17\end{array}\right] ? Dica: antes de assinalar uma alternativa, confira se \left[\begin{array}{c}8 \\\\ 17\end{array}\right]=x_{p}^{\prime}(t)-\left[\begin{array}{cc}2 & -1 \\\\ 3 & -2\end{array}\right] x_{p}(t).
a) x_{p}(\mathrm{t})=\left[\begin{array}{l}t \\\\ 2\end{array}\right]
b) x_{p}(t)=\left[\begin{array}{c}1 \\\\ 10\end{array}\right]
d) x_{p}(t)=\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 5\end{array}\right]
e) x_{p}(\mathrm{t})=\left[\begin{array}{c}2 t \\\ t+1\end{array}\right]
e) x_{p}(t)=\left[\begin{array}{l}2 \\\\ 7\end{array}\right]
f) x_{p}(t)=\left[\begin{array}{c}\mathbf{3} \\\ s\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede uma solução particular para o sistema
v' = A\,v + b
com
A = \begin{pmatrix}2 & -1 \\[6pt] 3 & -2\end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix}8 \\[3pt] 17\end{pmatrix}.
O método mais simples é tentar uma solução particular constante x_p(t)=x_p.]

Passo 2

Se x_p é constante, então x_p'=0. Substituindo em
v' = A\,v + b
obtém-se
0 = A\,x_p + b \quad\Longrightarrow\quad A\,x_p = -\,b.

Passo 3

Calculemos \det(A) e A^{-1}.
\det(A) = 2\cdot(-2) - (-1)\cdot3 = -4 + 3 = -1,
A^{-1} = \frac1{\det(A)}\begin{pmatrix}-2 & 1 \\[3pt]-3 & 2\end{pmatrix} = -1\begin{pmatrix}-2 & 1 \\[3pt]-3 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & -1 \\[3pt]3 & -2\end{pmatrix}.]

Passo 4

Da equação A\,x_p = -b vem
x_p = -\,A^{-1}b = -\begin{pmatrix}2 & -1 \\[3pt]3 & -2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}8 \\[3pt]17\end{pmatrix} = -\begin{pmatrix}16 - 17 \\[3pt]24 - 34\end{pmatrix} = -\begin{pmatrix}-1 \\[3pt]-10\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\[3pt]10\end{pmatrix}.]

Passo 5

Verificando em v' = A\,v + b: como x_p'=0 e
A\,x_p + b =\begin{pmatrix}2\cdot1-1\cdot10 \\[3pt]3\cdot1-2\cdot10\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}8 \\[3pt]17\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-8 \\[3pt]-17\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}8 \\[3pt]17\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[3pt]0\end{pmatrix},
tudo confere. Entre as alternativas, corresponde à opção (b).]

Resposta

(b) x_{p}(t)=\begin{pmatrix}1 \\[3pt]10\end{pmatrix}]

Exercícios relacionados