Ache os extremantes de f(x, y)=x y no conjunto compacto A=(x, y) in R^2: x^2+y^2 <= 1.

Passo 1

O enunciado pede para achar os extremos globais de f(x,y)=xy no disco unitário
A=(x,y)inR^2 : x^2+y^2<=1
Como f é contínua em A e A é compacto, os extremos ocorrem ou em pontos críticos do interior ( nabla f=0) ou na fronteira ( x^2+y^2=1), onde podemos usar multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

No interior de A procuramos pontos críticos resolvendo
nabla f=(partial f/partial x,partial f/partial y)=(y,x)=(0,0)
Isso dá x=0 e y=0. Esse ponto está em A e vale
f(0,0)=0

Passo 3

Na fronteira definimos g(x,y)=x^2+y^2-1=0 e aplicamos Lagrange:
nabla f=(y,x)=lambdanabla g=lambda(2x,2y)
Isso gera o sistema
y = 2lambda x, x = 2lambda y, x^2+y^2=1
Das duas primeiras equações vem y=pm x. Substituindo em x^2+y^2=1 obtemos
x=pmtfrac1raiz2, y=pmtfrac1raiz2
com o mesmo sinal (caso y=x) ou sinal oposto (caso y=-x).

Passo 4

Calculamos f nesses pontos da fronteira:
fl(pmtfrac1raiz2,pmtfrac1raiz2r) =pmtfrac12,
sendo +tfrac12 quando y=x e -tfrac12 quando y=-x. Comparando com f(0,0)=0, concluímos que
+tfrac12 é máximo global, -tfrac12 é mínimo global éáéí

Resposta

O máximo global de f em A é
fmax=+tfrac12
nos pontos l(tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r) e l(-tfrac1raiz2,-tfrac1raiz2r).
O mínimo global de f em A é
fmin=-tfrac12
nos pontos l(tfrac1raiz2,-tfrac1raiz2r) e l(-tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r).

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