Ache os extremantes de
no conjunto compacto
.
Passo 1
O enunciado pede para achar os extremos globais de
no disco unitário
Como
é contínua em
e
é compacto, os extremos ocorrem ou em pontos críticos do interior (
) ou na fronteira (
), onde podemos usar multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
No interior de
procuramos pontos críticos resolvendo
Isso dá
e
. Esse ponto está em
e vale
Passo 3
Na fronteira definimos
e aplicamos Lagrange:
Isso gera o sistema
Das duas primeiras equações vem
. Substituindo em
obtemos
com o mesmo sinal (caso
) ou sinal oposto (caso
).
Passo 4
Calculamos
nesses pontos da fronteira:
sendo
quando
e
quando
. Comparando com
, concluímos que
Resposta
O máximo global de
em
é
nos pontos
e
.
O mínimo global de em
é
O mínimo global de
nos pontos
e
.