encontre a solução geral da equação diferencial dada.
9 y^prime prime+9 y^prime-4 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
9y''+9y'-4y=0
O conteúdo necessário é a técnica de equação característica: para cada solução exponencial y=e^rx substituímos na EDO e obtemos uma equação algébrica para r.

Passo 2

Assumimos uma solução da forma y=e^rx. Substituindo na equação, temos
9(r^2e^rx) + 9(re^rx) - 4(e^rx) = 0,
e como e^rxneq0, isso leva à equação característica
9r^2 + 9r - 4 = 0

Passo 3

Resolvemos a equação quadrática
9r^2 + 9r - 4 = 0
usando a fórmula de Bhaskara
r = -9 pm raiz9^2 - 4cdot9cdot(-4)2cdot9 = -9 pm raiz81 + 14418 = -9 pm 1518
Logo obtemos as raízes
r1 = -9 + 1518 = 618 = tfrac13, r2 = -9 - 1518 = -2418 = -tfrac43

Passo 4

Como as raízes r1 e r2 são reais e distintas, a solução geral da EDO é
y(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x = C1 e^x3 + C2 e^-tfrac4x3,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

y(x) = C1 e^x3 + C2 e^-tfrac4x3

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