encontre a solução geral da equação diferencial dada.
y^prime prime+4 y^prime+6.25 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 4,y' + 6.25,y = 0
Para resolver, vamos usar o método do polinômio característico: supor y=e^r x e achar as raízes de r.

Passo 2

Formamos o polinômio característico associado à equação, substituindo y=e^r x:
r^2 + 4r + 6.25 = 0

Passo 3

Calculamos o discriminante De<a e as raízes de r:
De<a = 4^2 - 4cdot1cdot6.25 = 16 - 25 = -9,
r = -4 pm raizDe<a2 = -4 pm raiz-92 = -2 pm tfrac32,i

Passo 4

Como as raízes são complexas conjugadas r = alpha pm ibeta com alpha = -2 e beta = tfrac32, a forma geral da solução é
y(x) = e^alpha xl(C1cos(beta x) + C2sin(beta x)r)
Substituindo alpha e beta, obtemos
y(x) = e^-2xl(C1cosl(tfrac32xr) + C2sinl(tfrac32xr)r),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = e^-2xl(C1cosl(tfrac32xr) + C2sinl(tfrac32xr)r)

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