Ache as extremidades do diâmetro da esfera S: x^2+y^2+z^2+2 x-6 y+z=194 que é perpendicular ao plano Pi: 5 x-y+2 z=17.

Passo 1

O enunciado pede as extremidades do diâmetro de uma esfera que seja perpendicular ao plano dado. O que precisamos fazer é:
  1. Encontrar o centro C e o raio r da esfera completando quadrados.
  2. Identificar a direção perpendicular ao plano, que é dada pelo vetor normal n.
  3. Escrever a reta diametral que passa por C na direção de n e determinar onde ela encontra a esfera nos dois extremos (para t=pm r).

Passo 2

Começando pela esfera
x^2+y^2+z^2+2x-6y+z=194,
completo quadrados em x, y e z:
x^2+2x = (x+1)^2-1, y^2-6y = (y-3)^2-9, z^2+z = l(z+tfrac12r)^2-tfrac14
Substituindo,
(x+1)^2-1 + (y-3)^2-9 + l(z+tfrac12r)^2-tfrac14 = 194,
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(x+1)^2 + (y-3)^2 + l(z+tfrac12r)^2 = 194 + 1 + 9 + tfrac14 = 604 = 15
Isto mostra que
C = l(-1,,3,,-tfrac12r), r = raiz15

Passo 3

O plano é Pi:5x - y + 2z =17. Um vetor normal é
n = (5,,-1,,2),
de comprimento
|n| = raiz5^2 + (-1)^2 + 2^2 = raiz30
A unidade normal é
u = n|n| = 1raiz30,(5,,-1,,2)

Passo 4

A reta que dá o diâmetro perpendicular ao plano passa por C e segue u:
L:;X(t) = C + t,u
Os extremos da esfera ocorrem para t = pm r, pois a distância do centro até a superfície é r. Portanto os pontos são
P1 = C + r,u, P2 = C - r,u

Passo 5

Note que
r,u = raiz15,1raiz30,(5,-1,2) = raiz15raiz30,(5,-1,2) = 1raiz2,(5,-1,2)
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P1 = l(-1,,3,,-tfrac12r) + 1raiz2,(5,-1,2), P2 = l(-1,,3,,-tfrac12r) - 1raiz2,(5,-1,2)

Resposta

P1 = l(-1 + tfrac5raiz2,;3 - tfrac1raiz2,;-tfrac12 + raiz2r),
P2 = l(-1 - tfrac5raiz2,;3 + tfrac1raiz2,;-tfrac12 - raiz2r)

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