Considere o plano Pi gerado pelos vetores u=(-1,2,1) e v=(1,4,1) que contém o ponto A=(-1,0,2) e a reta r paralela ao vetor w=(3,0,-1) que passa pelo ponto B=(-1,6,4). Encontre a equação cartesiana de Pi, mostre que r está contida em Pi e obtenha a reta ell contida em П que passa pelo ponto B e é perpendicular a r.

Passo 1

O enunciado define o plano Pi gerado pelos vetores u=(-1,2,1) e v=(1,4,1) que contém o ponto A=(-1,0,2), e a reta r paralela a w=(3,0,-1) que passa por B=(-1,6,4). Precisamos:
  1. Encontrar a equação cartesiana de Pi.
  2. Mostrar que rsubsetPi.
  3. Determinar a reta ellsubsetPi que passa por B e é perpendicular a r.

Passo 2

Para achar a equação de Pi precisamos do vetor normal n=utimesv. Calculamos:
n = i&j&k -1&2&1 1&4&1 =(-2,2,-6)
Podemos simplificar dividindo por -2:
n=(1,-1,3)
A equação cartesiana vem de ncdot(X-A)=0, isto é
1(x+1)-1(y-0)+3(z-2)=0,
que simplifica para
x - y + 3z - 5 = 0

Passo 3

A forma paramétrica de r é
X(t)=B+tw =(-1,6,4)+t(3,0,-1) =(-1+3t,;6,;4-t)
Substituindo na equação de Pi:
(-1+3t)-6+3(4-t)-5 =-1+3t-6+12-3t-5 =0 para todo t
Logo rsubsetPi.

Passo 4

Queremos ellsubsetPi passando por B e perpendicular a r. Seu vetor-direção d deve satisfazer
dperpw e dperpn, então
d=ntimesw =(1,-1,3)times(3,0,-1) =(1,10,3)
Assim a reta ell é
X(s)=(-1,6,4)+s(1,10,3) =(-1+s,;6+10s,;4+3s)

Resposta

Pi: x - y + 3z - 5 = 0
A reta r em paramétrica é X(t)=(-1+3t,6,4-t) e de fato rsubsetPi.
A reta ell pedida é X(s)=(-1+s,6+10s,4+3s), que passa por B, está em Pi e é perpendicular a r.

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