Considere o plano gerado pelos vetores e que contém o ponto e a reta paralela ao vetor que passa pelo ponto . Encontre a equação cartesiana de , mostre que está contida em e obtenha a reta contida em П que passa pelo ponto e é perpendicular a .
Passo 1
O enunciado define o plano gerado pelos vetores e que contém o ponto , e a reta paralela a que passa por . Precisamos:
Encontrar a equação cartesiana de .
Mostrar que .
Determinar a reta que passa por e é perpendicular a .
Passo 2
Para achar a equação de precisamos do vetor normal . Calculamos:
Podemos simplificar dividindo por -2:
n=(1,-1,3)
A equação cartesiana vem de ncdot(X-A)=0, isto é
1(x+1)-1(y-0)+3(z-2)=0,
que simplifica para
x - y + 3z - 5 = 0
Passo 3
A forma paramétrica de r é
X(t)=B+tw =(-1,6,4)+t(3,0,-1) =(-1+3t,;6,;4-t)
Substituindo na equação de Pi:
(-1+3t)-6+3(4-t)-5 =-1+3t-6+12-3t-5 =0 para todo t
Logo rsubsetPi.
Passo 4
Queremos ellsubsetPi passando por B e perpendicular a r. Seu vetor-direção d deve satisfazer dperpw e dperpn, então
d=ntimesw =(1,-1,3)times(3,0,-1) =(1,10,3)
Assim a reta ell é
X(s)=(-1,6,4)+s(1,10,3) =(-1+s,;6+10s,;4+3s)
Resposta
Pi: x - y + 3z - 5 = 0
A reta r em paramétrica é X(t)=(-1+3t,6,4-t) e de fato rsubsetPi.
A reta ell pedida é X(s)=(-1+s,6+10s,4+3s), que passa por B, está em Pi e é perpendicular a r.