Ache os extremos de f no intervalo dado.
Passo 1
O enunciado dá a função
e o intervalo
.
O que nos é pedido: encontrar os extremos de no intervalo dado — isto é, localizar pontos em
onde
atinge mínimo ou máximo (se houver).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
O que nos é pedido: encontrar os extremos de
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função é um polinômio quadrático com coeficiente líder
. - O intervalo é aberto em suas extremidades:
e não pertencem ao domínio considerado.
Passo 2
Conceito e estratégia inicial (rápida aula): para encontrar extremos de uma função diferenciável dentro de um intervalo aberto, procuramos pontos críticos — pontos onde a derivada é zero ou não existe. A derivada indica a inclinação da reta tangente; quando a derivada é zero, a curva tem uma tangente horizontal e pode ocorrer um mínimo ou máximo local ali. Como
é polinomial, é derivável em todo lugar, então basta resolver
.
Calculemos a derivada:
Passo 3
Encontrar os pontos críticos resolvendo
.
Verificação de pertinência:
e pertence ao intervalo
. Portanto
é um ponto crítico no intervalo.
Passo 4
Classificação do ponto crítico (segunda derivada): uma forma simples de decidir se um ponto crítico é mínimo ou máximo é usar a segunda derivada. Se
no ponto, é mínimo local; se
, máximo local.
Calculemos a segunda derivada:
Aqui
para todo
. Logo o ponto crítico
é um mínimo (de fato mínimo global da parábola, já que o coeficiente quadrático é positivo e a parábola abre para cima).
Passo 5
Calcular o valor de
no ponto
(a conta passo a passo):
Primeiro o quadrado:
Multiplicando:
Agora a segunda parcela:
E
. Somando tudo em nonos:
Portanto o mínimo é
.
Passo 6
Existência de máximo no intervalo aberto (explicação didática): a parábola abre para cima (coeficiente
), logo não há um máximo global no gráfico inteiro. Num intervalo fechado e limitado, o máximo seria atingido em uma das extremidades; mas aqui o intervalo é aberto, então os pontos
e
não pertencem ao domínio considerado. Vamos calcular os valores que a função toma nesses pontos extremos (mesmo não pertencendo ao intervalo) para ver o comportamento limite:
Calcule
e
:
Como
é maior que
, os valores de
em pontos de
podem ficar arbitrariamente próximos de
quando
se aproxima de
pela direita. Entretanto, como
não pertence ao intervalo, esse valor
não é atingido dentro de
. Portanto não existe ponto em
onde
atinge um máximo; o supremo (menor majorante) do conjunto de valores de
em
é
, mas não é atingido.
Passo 7
Resumo final (o que devo levar para a prova): encontre derivada, ache pontos críticos resolvendo
, use a segunda derivada
para classificar; calcule
no ponto crítico. Sempre verifique as extremidades do intervalo — se o intervalo for aberto, extremos em borda podem não ser atingidos, então pode não existir máximo mesmo que haja supremo.
Resposta
Mínimo em
com
.
Máximo: não existe em (supremo
, não atingido).
Máximo: não existe em