Ache os extremos de f no intervalo dado.
f(x)=3 x^{2}-10 x+7 ;(-1,3)

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=3x^{2}-10x+7 e o intervalo (-1,3).
O que nos é pedido: encontrar os extremos de f no intervalo dado — isto é, localizar pontos em (-1,3) onde f atinge mínimo ou máximo (se houver).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é um polinômio quadrático com coeficiente líder 3>0.
  • O intervalo é aberto em suas extremidades: x=-1 e x=3 não pertencem ao domínio considerado.

Passo 2

Conceito e estratégia inicial (rápida aula): para encontrar extremos de uma função diferenciável dentro de um intervalo aberto, procuramos pontos críticos — pontos onde a derivada é zero ou não existe. A derivada indica a inclinação da reta tangente; quando a derivada é zero, a curva tem uma tangente horizontal e pode ocorrer um mínimo ou máximo local ali. Como f é polinomial, é derivável em todo lugar, então basta resolver f'(x)=0.
Calculemos a derivada:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}-10x+7\bigr)=6x-10.

Passo 3

Encontrar os pontos críticos resolvendo f'(x)=0.
6x-10=0 \quad\Rightarrow\quad 6x=10 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}.
Verificação de pertinência: \dfrac{5}{3}\approx1{,}666\ldots e pertence ao intervalo (-1,3). Portanto x=\dfrac{5}{3} é um ponto crítico no intervalo.

Passo 4

Classificação do ponto crítico (segunda derivada): uma forma simples de decidir se um ponto crítico é mínimo ou máximo é usar a segunda derivada. Se f''(x)>0 no ponto, é mínimo local; se f''(x)<0, máximo local.
Calculemos a segunda derivada:
f''(x)=\frac{d}{dx}(6x-10)=6.
Aqui f''(x)=6>0 para todo x. Logo o ponto crítico x=\dfrac{5}{3} é um mínimo (de fato mínimo global da parábola, já que o coeficiente quadrático é positivo e a parábola abre para cima).

Passo 5

Calcular o valor de f no ponto x=\dfrac{5}{3} (a conta passo a passo):
f\!\left(\frac{5}{3}\right)=3\left(\frac{5}{3}\right)^{2}-10\left(\frac{5}{3}\right)+7.
Primeiro o quadrado:
\left(\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{25}{9}.
Multiplicando:
3\cdot\frac{25}{9}=\frac{75}{9}.
Agora a segunda parcela:
10\cdot\frac{5}{3}=\frac{50}{3}=\frac{150}{9}.
E 7=\frac{63}{9}. Somando tudo em nonos:
f\!\left(\frac{5}{3}\right)=\frac{75}{9}-\frac{150}{9}+\frac{63}{9}=\frac{75-150+63}{9}=\frac{-12}{9}=-\frac{4}{3}.
Portanto o mínimo é f\!\left(\dfrac{5}{3}\right)=-\dfrac{4}{3}.

Passo 6

Existência de máximo no intervalo aberto (explicação didática): a parábola abre para cima (coeficiente 3>0), logo não há um máximo global no gráfico inteiro. Num intervalo fechado e limitado, o máximo seria atingido em uma das extremidades; mas aqui o intervalo é aberto, então os pontos x=-1 e x=3 não pertencem ao domínio considerado. Vamos calcular os valores que a função toma nesses pontos extremos (mesmo não pertencendo ao intervalo) para ver o comportamento limite:
Calcule f(-1) e f(3):
f(-1)=3(-1)^{2}-10(-1)+7=3+10+7=20,
f(3)=3\cdot3^{2}-10\cdot3+7=27-30+7=4.
Como f(-1)=20 é maior que f(3)=4, os valores de f(x) em pontos de (-1,3) podem ficar arbitrariamente próximos de 20 quando x se aproxima de -1 pela direita. Entretanto, como x=-1 não pertence ao intervalo, esse valor 20 não é atingido dentro de (-1,3). Portanto não existe ponto em (-1,3) onde f atinge um máximo; o supremo (menor majorante) do conjunto de valores de f em (-1,3) é 20, mas não é atingido.

Passo 7

Resumo final (o que devo levar para a prova): encontre derivada, ache pontos críticos resolvendo f'(x)=0, use a segunda derivada f'' para classificar; calcule f no ponto crítico. Sempre verifique as extremidades do intervalo — se o intervalo for aberto, extremos em borda podem não ser atingidos, então pode não existir máximo mesmo que haja supremo.

Resposta

Mínimo em x=\dfrac{5}{3} com f\!\left(\dfrac{5}{3}\right)=-\dfrac{4}{3}.
Máximo: não existe em (-1,3) (supremo 20, não atingido).

Exercícios relacionados