Ache os números críticos, se existirem, das funções:
f(x)=\operatorname{sen} t+\cos t;

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(t)=\sin t+\cos t e pede para encontrar os números críticos, se existirem.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é f(t)=\sin t+\cos t.
  • O domínio natural dessa função é todo o conjunto dos números reais, isto é, t\in\mathbb{R}.
  • Lembrete do que se pede: um número crítico é um ponto t do domínio em que a derivada f'(t) é igual a zero ou onde f'(t) não está definida.

Passo 2

Vamos calcular a derivada f'(t) passo a passo. Para isso uso as regras básicas de derivação das funções trigonométricas:
  • A derivada de \sin t em relação a t é \cos t.
  • A derivada de \cos t em relação a t é -\sin t.
Aplicando essas regras à função f:
f'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(\sin t\bigr)+\frac{d}{dt}\bigl(\cos t\bigr)=\cos t+(-\sin t).
Portanto,
f'(t)=\cos t-\sin t.

Passo 3

Verificar onde f'(t) não está definida. As funções \sin t e \cos t são definidas e diferenciáveis para todo t\in\mathbb{R}, logo f'(t)=\cos t-\sin t também está definida para todo t\in\mathbb{R}. Portanto não existem pontos do domínio em que a derivada seja indefinida. Assim, os números críticos só podem vir dos pontos onde f'(t)=0.

Passo 4

Agora resolvemos a equação f'(t)=0:
\cos t-\sin t=0.
Rearranjando,
\cos t=\sin t.
Para resolver essa igualdade, podemos dividir ambos os lados por \cos t, mas devemos verificar o caso \cos t=0 separadamente. Primeiro, supondo \cos t\neq0, dividindo por \cos t obtemos
1=\tan t,
ou seja
\tan t=1.
Verificação do caso \cos t=0: se \cos t=0 então \cos t-\sin t=-\sin t. Para que isso seja zero precisaríamos de \sin t=0 ao mesmo tempo que \cos t=0, mas não existe t real que satisfaça simultaneamente \sin t=0 e \cos t=0. Portanto \cos t=0 não produz solução da equação original, logo dividir por \cos t foi seguro depois dessa verificação.

Passo 5

Resolver a equação \tan t=1. A função tangente tem período \pi e \tan\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=1. Assim a solução geral é
t=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.

Passo 6

Checagem rápida por substituição: para t=\tfrac{\pi}{4} temos
f'(t)=\cos\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)-\sin\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=0.
Para t=\tfrac{\pi}{4}+ \pi=\tfrac{5\pi}{4} ambos \sin e \cos valem -\tfrac{\sqrt{2}}{2}, então a diferença também é zero. Assim a fórmula geral confirma-se.

Resposta

t=\dfrac{\pi}{4}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}

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