Ache os números críticos, se existirem, das funções:
;
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para encontrar os números críticos, se existirem.
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - O domínio natural dessa função é todo o conjunto dos números reais, isto é,
. - Lembrete do que se pede: um número crítico é um ponto
do domínio em que a derivada é igual a zero ou onde não está definida.
Passo 2
Vamos calcular a derivada
passo a passo. Para isso uso as regras básicas de derivação das funções trigonométricas:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é .
Aplicando essas regras à função
:
Portanto,
Passo 3
Verificar onde
não está definida. As funções
e
são definidas e diferenciáveis para todo
, logo
também está definida para todo
. Portanto não existem pontos do domínio em que a derivada seja indefinida. Assim, os números críticos só podem vir dos pontos onde
.
Passo 4
Agora resolvemos a equação
:
Rearranjando,
Para resolver essa igualdade, podemos dividir ambos os lados por
, mas devemos verificar o caso
separadamente. Primeiro, supondo
, dividindo por
obtemos
ou seja
Verificação do caso
: se
então
. Para que isso seja zero precisaríamos de
ao mesmo tempo que
, mas não existe
real que satisfaça simultaneamente
e
. Portanto
não produz solução da equação original, logo dividir por
foi seguro depois dessa verificação.
Passo 5
Resolver a equação
. A função tangente tem período
e
. Assim a solução geral é
Passo 6
Checagem rápida por substituição: para
temos
Para
ambos
e
valem
, então a diferença também é zero. Assim a fórmula geral confirma-se.