Ache os números críticos, se existirem, das funções:
f(x)=-\operatorname{sen} t+\cos t;

Passo 1

O enunciado pede: "Ache os números críticos, se existirem, da função f(t) = -\operatorname{sen} t + \cos t".
Informações dadas:
  • A função é f(t)= -\operatorname{sen} t + \cos t.
  • A variável é t e o domínio natural aqui é \mathbb{R} (funções seno e cosseno estão definidas para todo t).
    O que se deve encontrar: todos os valores de t em que existem números críticos da função (ou seja, pontos onde a derivada é zero ou não está definida).

Passo 2

Definição importante (passo didático): um número crítico de f é um ponto t no domínio onde ou (i) a derivada f'(t) é zero, ou (ii) a derivada f'(t) não existe. Vou aplicar essa definição à função dada.
Rápida lembrança de derivadas que vou usar:
  • A derivada de \operatorname{sen} t é \cos t.
  • A derivada de \cos t é -\sin t.
    Essas fórmulas vêm da definição padrão de derivada para funções trigonométricas; cada termo será diferenciado seguindo a regra da soma/diferença.

Passo 3

Calcular a derivada passo a passo:
  • Derivada de -\operatorname{sen} t é -\cos t (porque deriva-se \operatorname{sen} t para \cos t e mantém-se o sinal negativo).
  • Derivada de \cos t é -\operatorname{sen} t.
Portanto,
f'(t) = -\cos t - \sin t.
Posso reescrever convenientemente como
f'(t) = -\bigl(\cos t + \sin t\bigr).

Passo 4

Verificar onde f'(t) não existe: as funções \sin t e \cos t são diferenciáveis em todo \mathbb{R}, logo f'(t) existe para todo t\in\mathbb{R}. Assim não há números críticos do tipo “derivada indefinida”. Restam apenas os pontos onde f'(t)=0.

Passo 5

Resolver f'(t)=0. Igualando a derivada a zero:
-\bigl(\cos t + \sin t\bigr)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \cos t + \sin t = 0.
Uma maneira elegante e segura de resolver essa equação é usar a identidade de soma:
\sin t + \cos t = \sqrt{2}\,\sin\!\left(t+\frac{\pi}{4}\right).
(Prova rápida: \sqrt{2}\sin\!\left(t+\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}(\sin t\cos\frac{\pi}{4}+\cos t\sin\frac{\pi}{4})=\sin t+\cos t, porque \cos\frac{\pi}{4}=\sin\frac{\pi}{4}=\tfrac{\sqrt{2}}{2}.)
Então a equação vira
\sqrt{2}\,\sin\!\left(t+\frac{\pi}{4}\right)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \sin\!\left(t+\frac{\pi}{4}\right)=0.

Passo 6

Soluções da equação \sin\!\left(t+\frac{\pi}{4}\right)=0: sabemos que \sin u = 0 quando u = k\pi, com k\in\mathbb{Z}. Assim
t+\frac{\pi}{4}=k\pi \quad\Longrightarrow\quad t = -\frac{\pi}{4} + k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Isso fornece todos os pontos onde a derivada se anula. (Observação: poderia resolver também por \tan t = -1, chegando ao mesmo conjunto.)

Passo 7

Conclusão didática curta: todos os números críticos vêm dos zeros da derivada; a derivada existe em todo lugar, então os únicos números críticos são os t encontrados acima. Não há mais casos a considerar.

Resposta

t = -\dfrac{\pi}{4} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}

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