Ache os números críticos, se existirem, das funções:
;
Passo 1
O enunciado pede: "Ache os números críticos, se existirem, da função
".
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - A variável é
e o domínio natural aqui é (funções seno e cosseno estão definidas para todo ).
O que se deve encontrar: todos os valores deem que existem números críticos da função (ou seja, pontos onde a derivada é zero ou não está definida).
Passo 2
Definição importante (passo didático): um número crítico de
é um ponto
no domínio onde ou (i) a derivada
é zero, ou (ii) a derivada
não existe. Vou aplicar essa definição à função dada.
Rápida lembrança de derivadas que vou usar:
- A derivada de
é . - A derivada de
é .
Essas fórmulas vêm da definição padrão de derivada para funções trigonométricas; cada termo será diferenciado seguindo a regra da soma/diferença.
Passo 3
Calcular a derivada passo a passo:
- Derivada de
é (porque deriva-se para e mantém-se o sinal negativo). - Derivada de
é .
Portanto,
Posso reescrever convenientemente como
Passo 4
Verificar onde
não existe: as funções
e
são diferenciáveis em todo
, logo
existe para todo
. Assim não há números críticos do tipo “derivada indefinida”. Restam apenas os pontos onde
.
Passo 5
Resolver
. Igualando a derivada a zero:
Uma maneira elegante e segura de resolver essa equação é usar a identidade de soma:
(Prova rápida:
, porque
.)
Então a equação vira
Passo 6
Soluções da equação
: sabemos que
quando
, com
. Assim
Isso fornece todos os pontos onde a derivada se anula. (Observação: poderia resolver também por
, chegando ao mesmo conjunto.)
Passo 7
Conclusão didática curta: todos os números críticos vêm dos zeros da derivada; a derivada existe em todo lugar, então os únicos números críticos são os
encontrados acima. Não há mais casos a considerar.