Ache os extremos de f no intervalo dado.
f(x)=x^{4}-5 x^{2}+4; [0,2]

Passo 1

O enunciado dá a função f e o intervalo:
  • f(x)=x^{4}-5x^{2}+4.
  • Intervalo fechado [0,2].
O que é pedido:
  • Determinar os extremos de f no intervalo [0,2]. (Ou seja: pontos críticos internos e também os extremos absolutos no intervalo fechado.)

Passo 2

Conceitos essenciais (explicação didática):
  • Um extremo relativo (máximo ou mínimo local) ocorre em pontos críticos, que são pontos onde a derivada f'(x) é zero ou não existe.
  • Para achar extremos absolutos (no intervalo fechado) é preciso comparar os valores de f nos pontos críticos internos e nos extremos do intervalo (aqui x=0 e x=2).
  • A derivada f'(x) mede a inclinação da curva: f'(x)=0 significa que a tangente é horizontal ali.
  • O teste da segunda derivada: se em um ponto crítico c tivermos f''\text{(c)}>0 então c é mínimo local; se f''\text{(c)}<0 é máximo local; se f''\text{(c)}=0 o teste é inconclusivo.

Passo 3

Calcular a derivada e os pontos críticos:
  • Derivada de f:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}-5x^{2}+4\bigr)=4x^{3}-10x.
  • Fatorando:
f'(x)=2x(2x^{2}-5).
  • Resolver f'(x)=0:
2x(2x^{2}-5)=0 \quad\Rightarrow\quad x=0 \quad\text{ou}\quad 2x^{2}-5=0.
  • Da segunda equação:
2x^{2}-5=0 \Rightarrow x^{2}=\frac{5}{2} \Rightarrow x=\pm\sqrt{\frac{5}{2}}.
  • Dos pontos encontrados, no intervalo [0,2] temos os pontos críticos:
x=0,\qquad x=\sqrt{\frac{5}{2}}.
(Nota: \sqrt{\tfrac{5}{2}}\approx 1,5811, que está dentro de [0,2].)

Passo 4

Classificar os pontos críticos com a segunda derivada:
  • Calcular f''(x):
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(4x^{3}-10x\bigr)=12x^{2}-10.
  • Avaliar em x=0:
f''(0)=12\cdot0^{2}-10=-10<0,
portanto x=0 é um ponto de máximo local (segunda derivada negativa).
  • Avaliar em x=\sqrt{\tfrac{5}{2}}:
f''\!\Bigl(\sqrt{\tfrac{5}{2}}\Bigr)=12\cdot\frac{5}{2}-10=12\cdot2{,}5-10=30-10=20>0,
portanto x=\sqrt{\tfrac{5}{2}} é um ponto de mínimo local.

Passo 5

Avaliar f nos pontos relevantes (pontos críticos e extremos do intervalo):
  • Em x=0:
f(0)=0^{4}-5\cdot0^{2}+4=4.
  • Em x=\sqrt{\tfrac{5}{2}}: note que \bigl(\sqrt{\tfrac{5}{2}}\bigr)^{2}=\tfrac{5}{2} e \bigl(\sqrt{\tfrac{5}{2}}\bigr)^{4}=\bigl(\tfrac{5}{2}\bigr)^{2}=\tfrac{25}{4}. Então
f\!\Bigl(\sqrt{\tfrac{5}{2}}\Bigr)=\frac{25}{4}-5\cdot\frac{5}{2}+4=\frac{25}{4}-\frac{25}{2}+\frac{16}{4}=\frac{25-50+16}{4}=\frac{-9}{4}.
  • Em x=2 (extremo do intervalo):
f(2)=2^{4}-5\cdot2^{2}+4=16-20+4=0.

Passo 6

Comparar os valores para decidir os extremos absolutos no intervalo [0,2]:
  • Valores calculados: f(0)=4, f\!\bigl(\sqrt{\tfrac{5}{2}}\bigr)=-\tfrac{9}{4}, f(2)=0.
  • O maior valor é 4 em x=0 → máximo absoluto (também máximo local).
  • O menor valor é -\tfrac{9}{4} em x=\sqrt{\tfrac{5}{2}} → mínimo absoluto (também mínimo local).

Passo 7

Resumo rápido para a prova (dica prática):
  • Em um intervalo fechado: calcule f', ache pontos críticos internos, avalie f nesses pontos e nos extremos do intervalo; compare valores.
  • Use a segunda derivada para identificar se um crítico é mínimo ou máximo local.
  • Leve sempre as avaliações exatas (frações/radicais) — só use aproximação para checar rapidamente.

Resposta

Máximo absoluto em x=0: f(0)=4
Mínimo absoluto em x=\sqrt{\tfrac{5}{2}}: f\!\bigl(\sqrt{\tfrac{5}{2}}\bigr)=-\tfrac{9}{4}

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