Ache os extremos de f no intervalo dado.
;
Passo 1
O enunciado dá a função
e o intervalo:
-
. - Intervalo fechado
.
O que é pedido:
- Determinar os extremos de
no intervalo . (Ou seja: pontos críticos internos e também os extremos absolutos no intervalo fechado.)
Passo 2
Conceitos essenciais (explicação didática):
- Um extremo relativo (máximo ou mínimo local) ocorre em pontos críticos, que são pontos onde a derivada
é zero ou não existe. - Para achar extremos absolutos (no intervalo fechado) é preciso comparar os valores de
nos pontos críticos internos e nos extremos do intervalo (aqui e ). - A derivada
mede a inclinação da curva: significa que a tangente é horizontal ali. - O teste da segunda derivada: se em um ponto crítico
tivermos então é mínimo local; se é máximo local; se o teste é inconclusivo.
Passo 3
Calcular a derivada e os pontos críticos:
- Derivada de
:
- Fatorando:
- Resolver
:
- Da segunda equação:
- Dos pontos encontrados, no intervalo
temos os pontos críticos:
(Nota:
, que está dentro de
.)
Passo 4
Classificar os pontos críticos com a segunda derivada:
- Calcular
:
- Avaliar em
:
portanto
é um ponto de máximo local (segunda derivada negativa).
- Avaliar em
:
portanto
é um ponto de mínimo local.
Passo 5
Avaliar
nos pontos relevantes (pontos críticos e extremos do intervalo):
- Em
:
- Em
: note que e . Então
- Em
(extremo do intervalo):
Passo 6
Comparar os valores para decidir os extremos absolutos no intervalo
:
- Valores calculados:
, , . - O maior valor é
em → máximo absoluto (também máximo local). - O menor valor é
em → mínimo absoluto (também mínimo local).
Passo 7
Resumo rápido para a prova (dica prática):
- Em um intervalo fechado: calcule
, ache pontos críticos internos, avalie nesses pontos e nos extremos do intervalo; compare valores. - Use a segunda derivada para identificar se um crítico é mínimo ou máximo local.
- Leve sempre as avaliações exatas (frações/radicais) — só use aproximação para checar rapidamente.
Resposta
Máximo absoluto em
:
Mínimo absoluto em
: