Ache os extremos locais e os pontos de sela de f :
f(x, y)=x sen y

Passo 1

A função é f(x,y)=x sin y e queremos achar onde o gradiente some zero e depois classificar os pontos usando a matriz Hessiana. Vamos precisar de derivadas parciais e do teste de Hessiana.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais. Teoria: pontos críticos ocorrem quando fx=0 e fy=0. Aqui temos
fx=partial fpartial x=sin y, fy=partial fpartial y=xcos y

Passo 3

Resolvendo o sistema sin y=0 e xcos y=0. Da primeira vem y=kpi, kinZ. Como cos(kpi)=(-1)^k não é zero, a segunda equação obriga x=0. Logo, os pontos críticos são (0,kpi).

Passo 4

Para classificar, usamos a matriz Hessiana, cujas entradas são as segundas derivadas. Calculamos:
fxx=0, fxy=cos y, fyy=-xsin y

Passo 5

Avaliando essas derivadas em (0,kpi): temos fxx=0, fyy=0 e fxy=(-1)^k. Então a Hessiana é
$$H= H=0 & (-1)^k(-1)^k & 0 .
$$ O discriminante é
$$D=f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})2=0\cdot0-((-1)k)^2=-1<0.
$$

Passo 6

Como o discriminante D<0, cada ponto crítico (0,kpi) é ponto de sela. Não há extremos locais (máximos nem mínimos).

Resposta

Os únicos pontos críticos são (0,kπ), k ∈ ℤ, e todos são pontos de sela; não existem extremos locais.

Exercícios relacionados