Ache os extremos locais e os pontos de sela de
:
sen
Passo 1
A função é f(x,y)=x sin y e queremos achar onde o gradiente some zero e depois classificar os pontos usando a matriz Hessiana. Vamos precisar de derivadas parciais e do teste de Hessiana.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais. Teoria: pontos críticos ocorrem quando
e
. Aqui temos
Passo 3
Resolvendo o sistema
e
. Da primeira vem
,
. Como
não é zero, a segunda equação obriga
. Logo, os pontos críticos são
.
Passo 4
Para classificar, usamos a matriz Hessiana, cujas entradas são as segundas derivadas. Calculamos:
Passo 5
Avaliando essas derivadas em
: temos
,
e
. Então a Hessiana é
$$H=
.
$$ O discriminante é
$$D=f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})2=0\cdot0-((-1)k)^2=-1<0.
$$
Passo 6
Como o discriminante
, cada ponto crítico
é ponto de sela. Não há extremos locais (máximos nem mínimos).
Resposta
Os únicos pontos críticos são (0,kπ), k ∈ ℤ, e todos são pontos de sela; não existem extremos locais.