Ache os extremos e os pontos de sela.
f(x, y)=13 x^3-23 y^3+12 x^2-6 x+32 y+4

Passo 1

Temos a função f(x,y)=13x^3 - 23y^3 + 12x^2 - 6x + 32y + 4. O objetivo é encontrar os pontos críticos resolvendo nabla f=0 e, em seguida, usar a matriz Hessiana para classificar cada ponto como mínimo, máximo ou sela.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de primeira ordem. As derivadas são:
fx = x^2 + x - 6, fy = -2y^2 + 32

Passo 3

Encontrar os pontos críticos impondo fx=0 e fy=0.
Para fx=0:
x^2 + x - 6 = 0 implies x = 2 ou x = -3
Para fy=0:
-2y^2 + 32 = 0 implies y^2 = 16 implies y = 4 ou y = -4
Logo, os pontos críticos são
(2,4), (2,-4), (-3,4), (-3,-4)

Passo 4

Calcular as segundas derivadas e montar a Hessiana. Temos:
fxx = 2x + 1, fyy = -4y, fxy = 0
O determinante da Hessiana vale
D = fxx,fyy - (fxy)^2 = (2x+1)(-4y)

Passo 5

Avaliar D e fxx em cada ponto para classificar:
(2,4): D = 5cdot(-16) = -80 < 0 → ponto de sela.
(2,-4): D = 5cdot16 = 80 > 0, fxx=5>0 → mínimo local.
(-3,4): D = (-5)cdot(-16)=80>0, fxx=-5<0 → máximo local.
(-3,-4): D = (-5)cdot16 = -80<0 → ponto de sela.

Resposta

Mínimo local em (2,-4);
Máximo local em (-3,4);
Pontos de sela em (2,4) e (-3,-4).

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