Utilize as propriedades de adição e multiplicação para verificar que se a, b in R então as seguintes igualdades são verdadeiras: a^3-b^3=(a-b)(a^2+a b+b^2).

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a diferença de cubos satisfaz a relação a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2). O conteúdo aqui é fatoração de polinômios (diferença de cubos) e vamos precisar usar as propriedades distributiva, comutativa e associativa da adição e multiplicação.

Passo 2

Começamos aplicando a propriedade distributiva ao produto (a - b)(a^2 + ab + b^2). Isso significa multiplicar cada termo de a - b por cada termo de a^2 + ab + b^2:
(a - b)(a^2 + ab + b^2) = acdot a^2 + acdot (ab) + acdot b^2 - bcdot a^2 - bcdot (ab) - bcdot b^2

Passo 3

Agora calculamos cada produto usando propriedades elementares:
acdot a^2 = a^3
acdot (ab) = a^2b
acdot b^2 = ab^2
bcdot a^2 = a^2b (pela comutatividade)
bcdot (ab) = ab^2
bcdot b^2 = b^3

Passo 4

Substituindo esses resultados na expressão expandida, temos:
(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 + a^2b + ab^2 - a^2b - ab^2 - b^3

Passo 5

Por fim, agrupamos termos semelhantes e usamos a associatividade/comutatividade da adição:
+a^2b - a^2b = 0
+ab^2 - ab^2 = 0
Logo, sobra apenas a^3 - b^3, mostrando que a igualdade está verificada.

Resposta

De fato, ao expandir e cancelar termos, obtemos:
(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3

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